[Bài toán] Sử dụng khai triển Abel để chứng minh BĐT

Bài toán : Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $\{\begin{array}{c}0<a\le b\le c\le d\\ \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{d}{c}\ge 3\\ \frac{2}{b}+\frac{d}{c}\ge 2\end{array}$

Chứng minh rằng $a^4+b^4+c^4-d^4\le 17$

Lời giải :

Ta đoán dấu bằng của bài toán bằng cách cho đẳng thức xảy ra tại các giả thiết : $a=1,b=2,c=d$.

Khi đó viết bất đẳng thức đã cho dưới dạng $a^4+b^4+c^4\le 1^4+2^4+d^4$

Bằng bất đẳng thức $Holder$ ta dễ thấy :

$\frac{2^4}{b^4}+\frac{d^4}{c^4}$$\ge {\frac{\left(\frac{2}{b}+\frac{d}{c}\right)}{8}}^4$$\ge \frac{2^4}{8}$$=2$

$\frac{1}{a^4}+\frac{2^4}{b^4}+\frac{d^4}{c^4}$$\ge {\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{d}{c}\right)}{27}}^4$$\ge \frac{3^4}{27}$$=3$

Theo khai triển $Abel$ :

$1^4+2^4+d^4$$=a^4.\frac{1}{a^4}+b^4.\frac{2^4}{b^4}+c^4.\frac{d^4}{c^4}$$=\left(c^4-b^4\right).\frac{d^4}{c^4}+\left(b^4-a^4\right).\left(\frac{d^4}{c^4}+\frac{2^4}{b^4}\right)+a^4.\left(\frac{d^4}{c^4}+\frac{2^4}{b^4}+\frac{1}{a^4}\right)$$\ge (c^4-b^4)+2(b^4-a^4)+3a^4$$=a^4+b^4+c^4$

Đây là điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=1,b=2,c=d$.

 

* Tổng quát : Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $\{\begin{array}{c}0<a\le b\le c\le d\\ \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{d}{c}\ge 3\\ \frac{2}{b}+\frac{d}{c}\ge 2\end{array}$

Chứng minh rằng $a^k+b^k+c^k-d^k\le 2^k+1$ với $k$ là số nguyên dương cho trước