[Bài toán] Ứng dụng công thức nội suy Lagrange vào bài toán đa thức

Bài toán : Cho đa thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ thỏa mãn điều kiện $\left|f(0)\right|\le 1,\left|f(1)\right|\le 1,\left|f(-1)\right|\le 1$.

a) Chứng minh rằng ta luôn có  $\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\le 3$

b) Chứng minh với mọi $x$ thỏa mãn $\left|x\right|\le 2$ thì $\left|f(x)\right|\le 7$

Lời giải :

a) Áp dụng công thức nội suy $Lagrange$ cho $f(x)$ với ba số thực $-1,0,1$, ta có :

$f(x)$$=f(-1).\frac{(x-0)(x-1)}{(-1-0)(-1-1)}+f(0).\frac{(x+1)(x-1)}{(0+1)(0-1)}+f(1).\frac{(x-0)(x+1)}{(1-0)(1+1)}$$=f(-1).\frac{x(x-1)}{2}+f(0).(1-x^2)+f(1).\frac{x(x+1)}{2}$$=\left[\frac{f(-1)}{2}-f(0)+\frac{f(1)}{2}\right]x^2+\left[\frac{-f(-1)}{2}+\frac{f(1)}{2}\right]x+f(0)$

Đồng nhất hệ số, ta được :

$$a=\frac{f(1)+f(-1)}{2}-f(0)$$

$$b=\frac{f(1)-f(-1)}{2}$$

$$c=f(0)$$

Do đó : 

$\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|$$=\left|\frac{f(1)+f(-1)}{2}-f(0)\right|+\left|\frac{f(1)-f(-1)}{2}\right|+\left|f(0)\right|$$\le 2.\left|\frac{f(1)}{2}\right|+2.\left|\frac{f(-1)}{2}\right|+2.\left|f(0)\right|$$\le 3$ 

Đây là điều phải chứng minh.

b) Theo câu a, ta đã có :

$$f(x)=f(-1).\frac{x(x-1)}{2}+f(0).(1-x^2)+f(1).\frac{x(x+1)}{2}$$

Suy ra :

$\left|f(x)\right|$$\le \left|f(-1)\right|.\left|\frac{x(x-1)}{2}\right|+\left|f(0)\right|.\left|1-x^2\right|+\left|f(1)\right|.\left|\frac{x(x+1)}{2}\right|$$\le \left|\frac{x^2-x}{2}\right|+\left|x^2-1\right|+\left|\frac{x^2+x}{2}\right|$$=g(x)$

Áp dụng tính chất $\left|a+b\right|+\left|a-b\right|\le max\left\{\left|2a\right|,\left|2b\right|\right\}$

Ta có : $g(x)\le max\left\{\left|x^2\right|,\left|x\right|\right\}+\left|x^2-1\right|$

Nếu $1\le \left|x\right|\le 2\Rightarrow max\left\{\left|x^2\right|,\left|x\right|\right\}=\left|x^2\right|\le 4\Rightarrow g(x)\le 4+\left|x^2-1\right|\le 4+3=7$

Nếu $\left|x\right|\le 1\Rightarrow max\left\{\left|x^2\right|,\left|x\right|\right\}=\left|x\right|\le 2\Rightarrow g(x)\le 2+\left|x^2-1\right|\le 2+3\le 7$

Suy ra $\left|f\left(x\right)\right|\le 7$ 

Đây là điều phải chứng minh.