[Bài toán] Các đường đồng quy, ứng dụng định lí Carnot

Bài toán : Cho tam giác $ABC$. Dựng các tam giác $BC{A}_1,CA{B}_1,AB{C}_1$ theo thứ tự cân tại $A_1,B_1,C_1$. Các điểm $X,Y,Z$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,CA,AB$ Gọi $x,y,z$ lần lượt là các đường thẳng qua $X,Y,Z$ và lần lượt vuông góc với $B_1{C}_1,C_1{A}_1,A_1{B}_1$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $x,y,z$ đồng quy.

Lời giải :

Ta có bổ đề quen thuộc sau :

$$CD\perp AB\iff C{A}^2-C{B}^2=D{A}^2-D{B}^2$$

Trở lại bài toán :

Vì các tam giác $A{B}_{1}C,B{A}_{1}C,AB{C}_1$ cân nên $A_{1}X\perp BC,B_{1}Y\perp AC,C_{1}Z\perp AB$

Mặt khác theo tính chất đường trung bình $AB\parallel XY,BC\parallel YZ,CA\parallel ZX$

Do đó : $A_{1}X\perp YZ,B_{1}Y\perp ZX,C_{1}Z\perp XY$

Áp dụng bổ đề ta có $A_1{Z}^2-A_1{Y}^2=X{Z}^2-X{Y}^2,B_1{X}^2-B_1{Z}^2=Y{X}^2-Y{Z}^2,C_1{Y}^2-C_1{X}^2=Z{Y}^2-Z{X}^2$

Khi đó

$(X{B}_1^2-X{C}_1^2)+\left(Y{C}_1^2-Y{A}_1^2\right)+\left(Z{A}_1^2-Z{B}_1^2\right)$$=\left(A_1{Z}^2-A_1{Y}^2\right)+\left(C_1{Y}^2-C_1{X}^2\right)+\left(B_1{X}^2-B_1{Z}^2\right)$$=\left(X{Z}^2-X{Y}^2\right)+\left(Z{Y}^2-Z{X}^2\right)+\left(Z{X}^2-Z{Y}^2\right)$$=0$

Theo định lí $Carnot$ ta có $x,y,z$ đồng quy.