Hệ thức Jacobi Nếu $I$ là tâm tỉ cự của hệ điểm $\left \{ A_{1},A_{2},...,A_{n} \right \}$ với các hệ số tương ứng $\left \{ \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right \}$ thì với mọi điểm $M$ ta có hệ thức : \[\alpha _{1}MA_{1}^{2}+\alpha _{2}MA_{2}^{2}+...+\alpha _{n}MA_{n}^{2}=\alpha _{1}IA_{1}^{2}+\alpha _{2}IA_{2}^{2}+...+\alpha _{n}IA_{n}^{2}+\left ( \alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n} \right )MI^{2}\] Chứng minh : Hệ thức cần chứng minh tương đương với : \[\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\left ( MA_{i}^{2}-IA_{i}^{2} \right )=\left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i} \right )MI^{2}\;(*)\] Ta có : \[\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\left ( MA_{i}^{2}-IA_{i}^{2} \right )=\sum _{i=1}^{n}\left [ \alpha _{i}\left ( \overrightarrow{A_{i}M}+\overrightarrow{A_{i}I} \right )\left ( \overrightarrow{A_{i}M}-\overrightarrow{A_{i}I} \right ) \right ] =\overrightarrow{IM}\sum_{i=1}^{n} \left ( \alpha _{i}\overrightarrow{A_{i}M} +\alpha _{i}\overrightarrow{A_{i}I}\right )=\overrightarrow{IM}\left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\overrightarrow{A_{i}M} +\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{A_{i}I}\right )\] Mà vì $I$ là tâm tỉ cự của hệ điểm $\left \{ A_{1},A_{2},...,A_{n} \right \}$ với các hệ số tương ứng $\left \{ \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right \}$ nên : $\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\overrightarrow{A_{i}I}=\overrightarrow{0}$ Và theo công thức thu gọn : $\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\overrightarrow{A_{i}M}=\left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i} \right )\overrightarrow{IM}$ Do đó : \[\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\left ( MA_{i}^{2}-IA_{i}^{2} \right )=\overrightarrow{IM}\left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\overrightarrow{A_{i}M} +\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{A_{i}I}\right )=\overrightarrow{IM}\left [ \left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i} \right )\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{0} \right ]=\left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i} \right )MI^{2}\] Như vậy hệ thức $(*)$ được chứng minh, hệ thức $Jacobi$ được chứng minh.

Hệ thức Jacobi

Đề bài

Hệ thức Jacobi

Nếu $I$ là tâm tỉ cự của hệ điểm ${A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}}$ với các hệ số tương ứng ${α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}}$ thì với mọi điểm $M$ ta có hệ thức :

$α_{1} M A_{1}^{2} + α_{2} M A_{2}^{2} + ... + α_{n} M A_{n}^{2} = α_{1} I A_{1}^{2} + α_{2} I A_{2}^{2} + ... + α_{n} I A_{n}^{2} + (α_{1} + α_{2} + ... + α_{n}) M I^{2}$

Chứng minh :

Hệ thức cần chứng minh tương đương với :

$i = 1 \sum n α_{i} (M A_{i}^{2} - I A_{i}^{2}) = (i = 1 \sum n α_{i}) M I^{2} (*)$

Ta có :

$i = 1 \sum n α_{i} (M A_{i}^{2} - I A_{i}^{2}) = i = 1 \sum n [α_{i} (A_{i} M + A_{i} I) (A_{i} M - A_{i} I)] = I M i = 1 \sum n (α_{i} A_{i} M + α_{i} A_{i} I) = I M (i = 1 \sum n α_{i} A_{i} M + i = 1 \sum n A_{i} I)$

Mà vì $I$ là tâm tỉ cự của hệ điểm ${A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}}$ với các hệ số tương ứng ${α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}}$ nên : $\sum_{i = 1}^{n} α_{i} A_{i} I = 0$

Và theo công thức thu gọn : $\sum_{i = 1}^{n} α_{i} A_{i} M = (\sum_{i = 1}^{n} α_{i}) I M$

Do đó :

$i = 1 \sum n α_{i} (M A_{i}^{2} - I A_{i}^{2}) = I M (i = 1 \sum n α_{i} A_{i} M + i = 1 \sum n A_{i} I) = I M [(i = 1 \sum n α_{i}) I M + 0] = (i = 1 \sum n α_{i}) M I^{2}$

Như vậy hệ thức $(*)$ được chứng minh, hệ thức $J a co bi$ được chứng minh.

Mô tả

Hệ thức Jacobi Nếu là tâm tỉ cự của hệ điểm với các hệ số tương ứng thì với mọi điểm ta có hệ thức : Chứng minh : Hệ thức cần chứng minh tương đương với : Ta có : Mà vì là tâm tỉ cự của hệ điểm với các hệ số tương […]

Hệ thức lượng trong tam giác

Nguồn: julielltv