Lượng giác hóa trong chứng minh BĐT

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

1) Các phép đổi biến 

a) Từ điều kiện $a,b,c\in {\mathbb{R}}^{+}$ thỏa $ab+bc+ca=1$, ta có thể đặt $a=tan\frac{A}{2},b=tan\frac{B}{2},c=tan\frac{C}{2}$ với $A+B+C=\pi$

b) Từ điều kiện $a,b,c\in {\mathbb{R}}^{+}$ thỏa $a+b+c=abc$, ta có thể đặt $a=tanA,b=tanB,c=tanC$ với $A+B+C=\pi$

c) Từ điều kiện $a,b,c\in \left[-1,1\right]$ và $a^2+b^2+c^2+2abc=1$, ta có thể đặt $a=cosA,b=cosB,c=cosC$ hoặc $a=sin\frac{A}{2},b=sin\frac{B}{2},c=sin\frac{C}{2}$ với $A+B+C=\pi$

d) Từ điều kiện $a,b,c\in {\mathbb{R}}^{+}:a^2=b^2+c^2-\alpha bc,\alpha \in \left(0,2\right)$ thì ta suy ra luôn tồn tại một tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh $a,b,c$ và có $2cosA=\alpha$

e) Với những bài toán xuất hiện những biểu thức $\sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}},\sqrt{\frac{zx}{(y+z)(x+y)}},\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}$ $(x,y,z>0)$ thì tồn tại một tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh $a=y+z,b=z+x,c=x+y,p=\frac{a+b+c}{2}$. Khi đó các biểu thức trên tương ứng trở thành :

$\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$$=sin\frac{A}{2},\sqrt{\frac{(p-c)(p-a)}{ca}}$$=sin\frac{B}{2},\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{ab}}$$=sin\frac{C}{2}$

Với những bài toán xuất hiện những biểu thức $\sqrt{\frac{x(x+y+z)}{(x+y)(x+z)}},\sqrt{\frac{y(x+y+z)}{(y+z)(y+x)}},\sqrt{\frac{z(x+y+z)}{(z+x)(z+y)}}$ thì tồn tại một tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh $a=y+z,b=z+x,c=x+y,p=\frac{a+b+c}{2}$. Khi đó các biểu thức trên tương ứng trở thành :

$\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$$=cos\frac{A}{2},\sqrt{\frac{p(p-b)}{ca}}$$=cos\frac{B}{2},\sqrt{\frac{p(p-c)}{ab}}$$=cos\frac{C}{2}$

2) Một số kết quả cơ bản

$\bullet$ Nếu $a=tan\frac{A}{2}$ thì $sinA=\frac{2a}{1+a^2},cosA=\frac{1-a^2}{1+a^2},sin\frac{A}{2}=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}},cos\frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$

$\bullet$ Nếu $a,b,c\in {\mathbb{R}}^{+}:ab+bc+ca=1$ thì $\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}\le \frac{1}{\sqrt{1+c^2}}$ (hay  $sinA+sinB\le 2cos\frac{C}{2}$) và $\frac{1-a^2}{1+a^2}+\frac{1-b^2}{1+b^2}\le \frac{2c}{\sqrt{1+c^2}}$ (hay $cosA+cosB\le 2sin\frac{C}{2}$)