Bài toán : Cho tam giác $ABC$, đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác theo thứ tự tiếp xúc với $AC,AB$ tại $B_1,C_1$. Các điểm $B_2,C_2$ theo thứ tự thuộc $AC,AB$ sao cho $AB_2=CB_1$ và $AC_2=BC_1$. Gọi $B_3,C_3$ theo thứ tự là trung điểm của $BB_2$,$CC_2$. Chứng minh rằng $B_3C_3$ vuông góc với $AI$. Lời giải : Ta có : \[2\overrightarrow{B_{3}C_3}=\left ( \overrightarrow{B_{3}B}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_{3}} \right )+\left ( \overrightarrow{B_3B_2}+\overrightarrow{B_{2}C_{2}}+\overrightarrow{C_{2}C_{3}} \right )=\left ( \overrightarrow{B_3B} +\overrightarrow{B_{3}B_2}\right )+\left ( \overrightarrow{CC_3}+\overrightarrow{C_{2}C_3} \right )+\left ( \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{B_{2}C_{2}}\right )=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B_2C_2}\] Do đó với chú ý $AI\perp C_1B_1$, ta có : \[2\overrightarrow{B_3C_3}.\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AI}\left ( \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B_{2}C_{2}} \right )=\overrightarrow{AI}\left ( \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC_2}-\overrightarrow{AB_2} \right )=\overrightarrow{AI}\left ( \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C_1B}+\overrightarrow{CB_1} \right )=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{C_{1}B_1}=0\] Do đó ta có $AI\perp B_3C_3$. Đây là điều phải chứng minh.

[Bài toán] Chứng minh vuông góc

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán : Cho tam giác $A B C$ , đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác theo thứ tự tiếp xúc với $A C, A B$ tại $B_{1}, C_{1}$ . Các điểm $B_{2}, C_{2}$ theo thứ tự thuộc $A C, A B$ sao cho $A B_{2} = C B_{1}$ và $A C_{2} = B C_{1}$ . Gọi $B_{3}, C_{3}$ theo thứ tự là trung điểm của $B B_{2}$ , $C C_{2}$ . Chứng minh rằng $B_{3} C_{3}$ vuông góc với $A I$ .

Lời giải :

Ta có :

$2 B_{3} C_{3} = (B_{3} B + B C + C C_{3}) + (B_{3} B_{2} + B_{2} C_{2} + C_{2} C_{3}) = (B_{3} B + B_{3} B_{2}) + (C C_{3} + C_{2} C_{3}) + (B C + B_{2} C_{2}) = B C + B_{2} C_{2}$

Do đó với chú ý $A I ⊥ C_{1} B_{1}$ , ta có :

$2 B_{3} C_{3} . A I = A I (B C + B_{2} C_{2}) = A I (B C + A C_{2} - A B_{2}) = A I (B C + C_{1} B + C B_{1}) = A I . C_{1} B_{1} = 0$

Do đó ta có $A I ⊥ B_{3} C_{3}$ . Đây là điều phải chứng minh.

Mô tả

Bài toán : Cho tam giác , đường tròn nội tiếp của tam giác theo thứ tự tiếp xúc với tại . Các điểm theo thứ tự thuộc sao cho và . Gọi theo thứ tự là trung điểm của ,. Chứng minh rằng vuông góc với . Lời giải : Ta có : Do […]

Hình học phẳng

Nguồn: julielltv