[Bài toán] Xác định đa thức

Bài toán : Tìm đa thức với hệ số thực $P(x)$ sao cho

$\{\begin{array}{cc}P(x)=\sqrt{P(x^2+1)-33}+32(\ast )& \\ P(2005)=2037& \end{array}$ với mọi $x\ge 0$

Lời giải :

Thay $x=2005$ vào $(\ast )$

$2037$$=P(2005)$$=\sqrt{P(2005^2+1)-33}+32$$\iff P(2005^2+1)-32$$=2005^2+1$$\iff P(x_1)$$=x_1+32(x_1$$=2005^2+1)$

Thay $x=x_1$ vào $(\ast )$ :

$P(x_1)$$=\sqrt{P(x_1^2+1)-33}+32$$\iff x_1+32$$=\sqrt{P(x_1^2+1)-33}+32$$\iff P(x_1^2+1)$$=(x_1^2+1)+32$$\iff P(x_2)$$=x_2+32(x_2$$=x_1^2+1)$

Như vậy các số hạng của dãy $\{\begin{array}{ccc}{x}_1=2005& & \\ x_n^2=x_{n-1}^2+1& & \end{array}$ đều là nghiệm của $Q(x)$, dễ thấy $x_1<x_2<...<x_n<...$ và dãy trên có vô số số hạng nên $Q(x)$ có vô hạn nghiệm.

Suy ra $Q(x)\equiv 0\Rightarrow P(x)\equiv x+32$

Thử lại ta thấy thỏa mãn.

Kết luận : Đa thức cần tìm là $P(x)=x+32$ với mọi $x$ không âm.