[Bài toán] Lượng giác hóa trong chứng minh BĐT

Bài toán : (Đề nghị thi Olympic 30-4 toán 10 THPT Chuyên Lê Hồng Phong TpHCM 2010) Cho các số thực $a,b,c\ge 1$ thỏa mãn $a+b+c+2=abc$. Chứng minh rằng : 

$$bc\sqrt{a^2-1}+ca\sqrt{b^2-1}+ab\sqrt{c^2-1}\le \frac{3\sqrt{3}}{2}abc$$

Lời giải 1 : (Lượng giác hóa)

Gỉa thiết đã cho tương đương ${\left(\frac{1}{\sqrt{bc}}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}\right)}^2+2.\frac{1}{\sqrt{bc}}.\frac{1}{\sqrt{ca}}.\frac{1}{\sqrt{ab}}=1$

Dễ thấy $0<\frac{1}{\sqrt{bc}},\frac{1}{\sqrt{ca}},\frac{1}{\sqrt{ab}}\le 1$ nên ta đặt $\frac{1}{\sqrt{bc}}=cosA,\frac{1}{\sqrt{ca}}=cosB,\frac{1}{\sqrt{ab}}=cosC$

Khi đó ta có $cosAcosB=\frac{1}{c}\sqrt{\frac{1}{ab}}=\frac{cosC}{c}\Rightarrow \frac{1}{c^2}={\left(\frac{cosAcosB}{cosC}\right)}^2$

Tương tự $\frac{1}{a^2}={\left(\frac{cosBcosC}{cosA}\right)}^2,\frac{1}{b^2}={\left(\frac{cosCcosA}{cosB}\right)}^2$

Cần chứng minh :

$\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{b^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{c^2}}$$\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$$\iff \sqrt{1-{\left(\frac{cosAcosB}{cosC}\right)}^2}+\sqrt{1-{\left(\frac{cosBcosC}{cosA}\right)}^2}+\sqrt{1-{\left(\frac{cosCcosA}{cosB}\right)}^2}$$\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Lại đặt $co{s}^{2}A=x,co{s}^{2}B=y,co{s}^{2}C=z$, ta chứng minh một BĐT mạnh hơn là :

$3\left(3-\frac{xy}{z}-\frac{yz}{x}-\frac{zx}{y}\right)$$\le {\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)}^2$$\iff \frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}$$\ge \frac{3}{4}$

Điều này luôn đúng vì $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge x+y+z=co{s}^{2}A+co{s}^{2}B+co{s}^{2}C\ge \frac{3}{4}$

Ta có điều phải chứng minh.

Lời giải 2 : (Thuần túy đại số)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

$$\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{b^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{c^2}}\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Ta chứng minh một kết quả mạnh hơn :

$3\left(3-\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}-\frac{1}{c^2}\right)$$\le \frac{27}{4}$$\iff \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$$\ge \frac{3}{4}$

Và mạnh hơn nữa là :

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{3}{2}$$

Thật vậy, đặt $t=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Từ giả thiết : $\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{ab}+\frac{2}{abc}=1$

và hai kết quả quen thuộc $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le \frac{1}{3}{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2=\frac{t^2}{3}$ , $\frac{2}{abc}\le 2.\frac{t^3}{27}$

Suy ra

$2.\frac{t^3}{27}+\frac{t^2}{3}$$\ge 1$$\iff 2t^3+9t^2-27$$\ge 0$$\iff (2t-3)(t+3{)}^2$$\ge 0$$\iff t$$\ge \frac{3}{2}$.

Như vậy ta cũng có điều phải chứng minh.