Định lí Pascal

Định lí Pascal :

Cho lục giác $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn, $H,K,I$ lần lượt là giao điểm của $AB$ và $ED$, $BC$ và $EF$, $AF$ và $CD$. Chứng minh rằng : $I,H,K$ thẳng hàng.

Chứng minh :

Gọi $X$ là giao điểm của $AB$ và $CD$, $Y$ là giao điểm của $EF$ và $CD$, $Z$ là giao điểm của $AB$ và $EF$.

Áp dụng định lí $Menelaus$ cho tam giác $XYZ$ với sự thẳng hàng của $I,F,A$ :

$$\frac{IY}{IX}.\frac{AX}{AZ}.\frac{FZ}{FY}=1(1)$$

Áp dụng định lí $Menelaus$ cho tam giác $XYZ$ với sự thẳng hàng của $H,E,D$ :

$$\frac{HX}{HZ}.\frac{EZ}{EY}.\frac{DY}{DX}=1(2)$$

Áp dụng định lí $Menelaus$ cho tam giác $XYZ$ với sự thẳng hàng của $K,B,C$ :

$$\frac{KZ}{KY}.\frac{CY}{CX}.\frac{BX}{BZ}=1(3)$$

Nhân $(1)(2)(3)$ theo vế :

$\frac{IY}{IX}.\frac{HX}{HZ}.\frac{KZ}{KY}.\frac{XA.XB}{XC.XD}.\frac{ZE.ZF}{ZA.ZB}.\frac{YC.YD}{YE.YF}$$=1$

Theo hệ thức lượng trong đường tròn $XA.XB=XC.XD,ZE.ZF=ZA.ZB,YC.YD=YE.YF$

Suy ra $\frac{IY}{IX}.\frac{HX}{HZ}.\frac{KZ}{KY}=1$

Theo định lí $Menelaus$ cho tam giác $XYZ$ ta có $H,I,K$ thẳng hàng.

(Đường thẳng chứa ba điểm $H,I,K$ gọi là đường thẳng $Pascal$)