[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên

Bài toán : Chứng minh rằng phương trình $x^4-1=(2y+1{)}^3$ không có nghiệm nguyên dương.

Lời giải :

Đặt $x^2=a\in {\mathbb{Z}}^{+},2y+1=b\in {\mathbb{Z}}^{+}$, ta được

$$a^2-b^3=1\iff (a-1)(a+1)=b^3$$.

Dễ thấy $a$ chẵn nên $gcd(a-1,a+1)=1$, suy ra $a-1,a+1$ đều là những lập phương đúng của một số nguyên.

Gỉa sử $a-1=m^3,a+1=n^3(m,n\in \mathbb{Z})$. Ta được :

$n^3-m^3=2\Rightarrow (n-m)(n^2+mn+m^2)=2\Rightarrow (m,n)=(-1,1)\Rightarrow a=0$. Vô lí.

Kết luận: Phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương.