[Bài toán] Chứng minh BĐT bằng nguyên lý Biên

Bài toán : Tìm tất cả các giá trị $a,b,c,d,e\in \left[0,1\right]$ sao cho $A=\frac{a}{1+bcde}+\frac{b}{1+cdea}+\frac{c}{1+deab}+\frac{d}{1+eabc}+\frac{e}{1+abcd}=4$

Lời giải :

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a\le b\le c\le d\le e$.

Khi đó ta có $A=\frac{a}{1+bcde}+\frac{b}{1+cdea}+\frac{c}{1+deab}+\frac{d}{1+eabc}+\frac{e}{1+abcd}\le \frac{a}{1+abcde}+\frac{b}{1+abcde}+\frac{c}{1+abcde}+\frac{d}{1+abcde}+\frac{e}{1+abcde}=\frac{a+b+c+d+e}{1+abcde}$

Ta chứng minh $a+b+c+d+e-abcdea\le 4(\ast )$

Thật vậy, vế trái của $(\ast )$ là một hàm số bậc nhất theo $a,b,c,d,e,a$ trên $\left[0,1\right]$ , do đó giá trị lớn nhất của nó chỉ nhận tại các giá trị đầu mút, tức là khi $a,b,c,d,e\in \left\{0,1\right\}$

• Nếu một trong các số $a,b,c,d,e$ nhận giá trị bằng $0$ :

Ta có $a+b+c+d+e-abcde=a+b+c+d+e\le 0+1+1+1+1=4\le 4$

• Nếu tất cả các số $a,b,c,d,e$ đều bằng $1$ :

Ta có $a+b+c+d+e-abcde=1+1+1+1+1-1=4\le 4$

Như vậy $(\ast )$ được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c,d,e)=(1,1,1,1,1),(0,1,1,1,1)$ hoặc các hoán vị.

Suy ra $a+b+c+d+e\le 4+abcde\le 4(1+abcde)\Rightarrow A=\frac{a+b+c+d+e}{1+abcde}\le 4$

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c,d,e)=(0,1,1,1,1)$ hoặc các hoán vị. Đó là các giá trị $a,b,c,d,e$ cần tìm.

*Tổng quát :

Cho các số thực $a_i\in \left[0,1\right],i=\overline{1,n}$. Chứng minh :

$$\frac{a_1}{1+a_2{a}_3...a_n}+\frac{a_2}{1+a_1{a}_3...a_n}+...+\frac{a_n}{1+a_1{a}_2...a_{n-1}}\le n-1$$