Bài toán : Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh bất đẳng thức : \[xy+yz+zx\geq 3+\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\] Lời giải : Từ giả thiết, ta có quyền đổi biến số $\left ( x,y,z \right )\rightarrow \left ( tanA,tanB,tanC \right )$ với $A+B+C=\pi$. Khi đó dễ thấy $\sqrt{x^2+1}=\sqrt{tan^2A+1}=\sqrt{\dfrac{1}{cos^2A}}=\dfrac{1}{cosA}$ Cần chứng minh : \[tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA\geq 3+\dfrac{1}{cosA}+\dfrac{1}{cosB}+\dfrac{1}{cosC}\] Đặt $tan\dfrac{A}{2}=a,tan\dfrac{B}{2}=b,tan\dfrac{C}{2}=c\Rightarrow ab+bc+ca=1$ Khi đó ta có $tanA=\dfrac{2a}{1-a^2},cosA=\dfrac{1-a^2}{1+a^2}$ Như vậy ta sẽ chứng minh bất đẳng thức : \[\dfrac{4ab}{(1-a^2)(1-b^2)}+\dfrac{4bc}{(1-b^2)(1-c^2)}+\dfrac{4ca}{(1-c^2)(1-a^2)}\geq 3+\dfrac{1+a^2}{1-a^2}+\dfrac{1+b^2}{1-b^2}+\dfrac{1+c^2}{1-c^2}\Leftrightarrow 4ab(1-c^2)+4bc(1-a^2)+4ca(1-b^2)\geq 3(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)+(1+a^2)(1-b^2)(1-c^2)+(1+b^2)(1-a^2)(1-c^2)+(1+c^2)(1-a^2)(1-b^2)\Leftrightarrow 4-4abc(a+b+c)\geq 6-4(a^2+b^2+c^2)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 1+(ab+bc+ca)^2 =2\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^2\geq 1\] Điều này hiển nhiên đúng vì ta có $a^{2}+b^{2}+c^2\geq ab+bc+ca=1$ Như vậy thì ta có điều phải chứng minh.

[Bài toán] Lượng giác hóa trong chứng minh BĐT

Bài toán : Cho các số dương $x, y, z$ thỏa mãn $x + y + z = x y z$ . Chứng minh bất đẳng thức :

$x y + y z + z x \geq 3 + x^{2} + 1 + y^{2} + 1 + z^{2} + 1$

Lời giải :

Từ giả thiết, ta có quyền đổi biến số $(x, y, z) \to (t an A, t an B, t an C)$ với $A + B + C = π$ .

Khi đó dễ thấy $x^{2} + 1 = t a n^{2} A + 1 = \frac{1}{co s ^{2} A} = \frac{1}{cos A}$

Cần chứng minh :

$t an A . t an B + t an B . t an C + t an C . t an A \geq 3 + \frac{1}{cos A} + \frac{1}{cos B} + \frac{1}{cos C}$

Đặt $t an \frac{A}{2} = a, t an \frac{B}{2} = b, t an \frac{C}{2} = c \Rightarrow ab + b c + c a = 1$

Khi đó ta có $t an A = \frac{2 a}{1 - a ^{2}}, cos A = \frac{1 - a ^{2}}{1 + a ^{2}}$

Như vậy ta sẽ chứng minh bất đẳng thức :

$\frac{4 ab}{( 1 - a ^{2} ) ( 1 - b ^{2} )} + \frac{4 b c}{( 1 - b ^{2} ) ( 1 - c ^{2} )} + \frac{4 c a}{( 1 - c ^{2} ) ( 1 - a ^{2} )} \geq 3 + \frac{1 + a ^{2}}{1 - a ^{2}} + \frac{1 + b ^{2}}{1 - b ^{2}} + \frac{1 + c ^{2}}{1 - c ^{2}} \Leftrightarrow 4 ab (1 - c^{2}) + 4 b c (1 - a^{2}) + 4 c a (1 - b^{2}) \geq 3 (1 - a^{2}) (1 - b^{2}) (1 - c^{2}) + (1 + a^{2}) (1 - b^{2}) (1 - c^{2}) + (1 + b^{2}) (1 - a^{2}) (1 - c^{2}) + (1 + c^{2}) (1 - a^{2}) (1 - b^{2}) \Leftrightarrow 4 - 4 ab c (a + b + c) \geq 6 - 4 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}) \Leftrightarrow 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 1 + (ab + b c + c a)^{2} = 2 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 1$

Điều này hiển nhiên đúng vì ta có $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + b c + c a = 1$

Như vậy thì ta có điều phải chứng minh.

[Bài toán] Lượng giác hóa trong chứng minh BĐT

Đề bài

Mô tả