[Bài toán] Ứng dụng định lí Ceva-sin

 Bài toán : Cho $\Delta ABC$ có $O$ là điểm bất kỳ nằm trong $\Delta$. Nối $AO,BO,CO$ giao $BC,CA,AB$ ở $M,N,P$. Gọi $I$ là điểm bất kỳ nằm trong $\Delta MNP$ .Nối $MI,NI,PI$ giao $PN,PM,MN$ ở $D,E,F$. Chứng minh rằng   $AD,BE,CF$ đồng quy.

Lời giải :

Ta có :

$\frac{S_{ADN}}{S_{ADP}}$$=\frac{AD.DN.sin\widehat{ADN}}{AD.DP.sin\widehat{ADP}}$$=\frac{DN}{DP},\frac{S_{ADN}}{S_{ADP}}$$=\frac{AN.AD.sin\widehat{DAC}}{AD.AP.sin\widehat{DAB}}$$=\frac{AN.sin\widehat{DAC}}{AP.sin\widehat{DAB}}$$

Do đó :

$\frac{AD.sin\widehat{DAC}}{AP.sin\widehat{DAB}}$$=\frac{DN}{DP}$$\Rightarrow \frac{sin\widehat{DAC}}{sin\widehat{DAB}}$$=\frac{DN}{DP}.\frac{AP}{AN}$

Hoàn toàn tương tự :

$\frac{sin\widehat{EBA}}{sin\widehat{EBC}}$$=\frac{EP}{EM}.\frac{BM}{BP},\frac{sin\widehat{FCB}}{sin\widehat{FCA}}$$=\frac{FM}{FN}.\frac{CN}{CM}$

Suy ra :

$\frac{sin\widehat{DAC}}{sin\widehat{DAB}}.\frac{sin\widehat{EBA}}{sin\widehat{EBC}}.\frac{sin\widehat{FCB}}{sin\widehat{FCA}}$$=\frac{DN}{DP}.\frac{EP}{EM}.\frac{FM}{FN}.\frac{AP}{AN}.\frac{BM}{BP}.\frac{CN}{CM}$

Theo định lí $Ceva$ trong tam giác $ABC$ và $MNP$ thì :

$$\frac{DN}{DP}.\frac{EP}{EM}.\frac{FM}{FN}=1,\frac{AP}{AN}.\frac{BM}{BP}.\frac{CN}{CM}=1$$

Suy ra $\frac{sin\widehat{DAC}}{sin\widehat{DAB}}.\frac{sin\widehat{EBA}}{sin\widehat{EBC}}.\frac{sin\widehat{FCB}}{sin\widehat{FCA}}=1$

Theo định lí $Ceva-sin$ ta có $AD,BE,CF$ đồng quy.