[Bài toán] Hệ phương trình

Bài toán (Đề nghị Olympic 30/4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM) : Giải hệ phương trình sau : $\{\begin{array}{c}\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{x^2+xy+y^2}{3}}=x+y\\ 2xy-3\left[\frac{x+y}{2}\right]=5\end{array}$

Lời giải :

Ta có $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\ge \sqrt{\frac{(x+y{)}^2}{4}}=\frac{\left|x+y\right|}{2}\ge \frac{x+y}{2}$

Ta cũng có

$x^2+y^2$$\ge 2\left|xy\right|$$\ge 2xy$$\Rightarrow 4(x^2+y^2)$$\ge 3(x^2+y^2)+2xy$$\Rightarrow 4(x^2+y^2+xy)$$\ge 3(x+y{)}^2$$\Rightarrow \sqrt{\frac{x^2+xy+y^2}{3}}$$\ge \sqrt{\frac{(x+y{)}^2}{4}}$$=\frac{\left|x+y\right|}{2}$$\ge \frac{x+y}{2}$

Từ đó suy ra $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{x^2+xy+y^2}{3}}\ge \frac{x+y}{2}+\frac{x+y}{2}=x+y$.

Đẳng thức phải xảy ra, khi và chỉ khi $x=y\ge 0$.

Thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được : $2x^2-3\left[x\right]-5=0(\ast )$

Chú ý rằng $x\ge \left[x\right]\ge 0$.

Ta có $\left[x\right]=\frac{2x^2-5}{3}\ge \frac{2{\left[x\right]}^2-5}{3}\iff 2{\left[x\right]}^2-3\left[x\right]-5\le 0\iff -1\le \left[x\right]\le \frac{5}{2}$

Mà $0\le \left[x\right]\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left[x\right]\in \left\{0,1,2\right\}$

Nếu $\left[x\right]=0$ thay vào $(\ast )$ : $2x^2=5\Rightarrow x=\sqrt{\frac{5}{2}}$.

Nếu $\left[x\right]=1$ thay vào $(\ast )$ : $2x^2=8\Rightarrow x=2$

Nếu $\left[x\right]=2$ thay vào $(\ast )$ : $2x^2=11\Rightarrow x=\sqrt{\frac{11}{2}}$.

Thử lại ta nhận nghiệm $(x,y)=(\sqrt{\frac{11}{2}},\sqrt{\frac{11}{2}})$

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $\boxed{(x,y)=\left(\sqrt{\frac{11}{2}},\sqrt{\frac{11}{2}}\right)}$