[Bài toán] Ứng dụng định lí Euler về tam giác Pedal

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Chuyên Lương Văn Chánh, Phú Yên) : Cho điểm $M$ thuộc miền trong tam giác $ABC$, gọi $d_1,d_2,d_3$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $M$ đến các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng nếu $d_1{d}_2{d}_3\ge r^3$ thì $OM\le OI$ trong đó $I$ là tâm và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

Lời giải :

Gọi $H,I,K$ lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ $M$ xuống $BC,CA,AB$.

Ta có $S_{HIK}=S_{MHK}+S_{MHI}+S_{HIK}=\frac{1}{2}{d}_1{d}_3.sin\widehat{HMK}+\frac{1}{2}{d}_1{d}_2.sin\widehat{HMI}+\frac{1}{2}.sin\widehat{KMI}=\frac{d_1{d}_2{d}_3}{2}\left(\frac{sin\left(\pi -A\right)}{d_1}+\frac{sin(\pi -B)}{d_2}+\frac{sin(\pi -C)}{d_3}\right)=\frac{d_1{d}_2{d}_3}{4R}\left(\frac{a}{d_1}+\frac{b}{d_2}+\frac{c}{d_3}\right)$.

Theo định lí $Euler$ cho tam giác $Pedal$ $HIK$ :

$S_{HIK}=\frac{1}{4}\left|1-\frac{O{M}^2}{R^2}\right|S_{ABC}\Rightarrow \frac{4S_{HIK}}{S_{ABC}}=1-\frac{O{M}^2}{R^2}(OM<R)$, tức là $O{M}^2=R^2\left(1-\frac{4S_{HIK}}{S_{ABC}}\right)$

Theo hệ thức $Euler$ : $O{I}^2=R^2-2Rr$

Để chứng minh $OM\le OI$ hay $O{M}^2\le O{I}^2$, ta sẽ chứng minh :

$R^2\left(1-\frac{4S_{HIK}}{S_{ABC}}\right)$$\le R^2-2Rr$$\iff 1-\frac{4S_{HIK}}{S_{ABC}}$$\le 1-\frac{2r}{R}$$\iff \frac{S_{HIK}}{S_{ABC}}$$\ge \frac{r}{2R}$$\iff \frac{d_1{d}_2{d}_3}{4R}\left(\frac{a}{d_1}+\frac{b}{d_2}+\frac{c}{d_3}\right)$$\ge \frac{r}{2R}.S_{ABC}$$\iff d_1{d}_2{d}_3\left(\frac{a}{d_1}+\frac{b}{d_2}+\frac{c}{d_3}\right)$$\ge 2r.S_{ABC}(\ast )$

Theo BĐT $Cauchy-Schwarz$ :

$\frac{a}{d_1}+\frac{b}{d_2}+\frac{c}{d_3}$$\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{a{d}_1+b{d}_2+c{d}_3}$$=\frac{4p^2}{2(S_{MBC}+S_{MCA}+S_{MAB})}$$=\frac{4p^2}{2S_{ABC}}$$=\frac{2p^2}{pr}$$=\frac{2p}{r}$

Lại theo giả thiết $d_1{d}_2{d}_3\ge r^3$.

Do đó $d_1{d}_2{d}_3\left(\frac{a}{d_1}+\frac{b}{d_2}+\frac{c}{d_3}\right)\ge r^3.\frac{2p}{r}=2p{r}^2=2r.S_{ABC}$.

Như vậy $(\ast )$ được chứng minh, ta có điều phải chứng minh.