Bài toán : Cho các số không âm $a_1,a_2,...,a_n$ thỏa mãn $a_{1}a_{2}...a_{k}\geq \dfrac{1}{(2k)!}\;\;\;\forall k=\overline{1,n}$. Chứng minh rằng $a_1+a_2+...+a_n\geq \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{2n}$ Lời giải : Dự đoán đẳng thức xảy ra khi $a_{1}=\dfrac{1}{2!},a_{2}=\dfrac{2!}{4!},a_{3}=\dfrac{4!}{6!},...,a_{n}=\dfrac{(2n-2)!}{(2n)!}$ Từ đó ta áp dụng khai triển $Abel$ và BĐT $AM-GM$ : \[a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=\dfrac{1}{2!}.(2!a_1)+\dfrac{2!}{4!}.\left ( \dfrac{4!}{2!}a_{2} \right )+\dfrac{4!}{6!}\left ( \dfrac{6!}{4!}a_{3} \right )+...+\dfrac{(2n-2)!}{(2n)!}\left ( \dfrac{(2n)!}{(2n-2)!} a_n\right )=\left ( \dfrac{1}{2!} -\dfrac{2!}{4!}\right )2!a_1+\left ( \dfrac{2!}{4!}-\dfrac{4!}{6!} \right )\left ( 2!a_1+\dfrac{4!}{2!}a_2 \right )+...+\left ( \dfrac{(2n-4)!}{(2n-2)!}-\dfrac{(2n-2)!}{(2n)!} \right )\left ( 2!a_1+\dfrac{4!}{2!}a_2+...+\dfrac{(2n-2)!}{(2n-4)!}a_{n-1} \right )+\dfrac{(2n-2)!}{(2n)!}\left ( 2!a_1+\dfrac{4!}{2!}a_2+...+\dfrac{(2n)!}{(2n-2)!} \right )\] \[\geq \left ( \dfrac{1}{2!}-\dfrac{2!}{4!} \right )2!a_1+\left ( \dfrac{2!}{4!}-\dfrac{4!}{6!} \right ).2\sqrt{4!a_1a_2}+...+\dfrac{(2n-2)!}{(2n)!}.n\sqrt[n]{(2n)!a_1a_2...a_n}=\left ( \dfrac{1}{2!} -\dfrac{2!}{4!}\right )+2\left ( \dfrac{2!}{4!}-\dfrac{4!}{6!} \right )+...+(n-1)\left ( \dfrac{(2n-4)!}{(2n-2)!}-\dfrac{(2n-2)!}{(2n)!} \right )+n.\dfrac{(2n-2!)}{(2n)!}=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2!}{4!}+\dfrac{4!}{6!}+...+\dfrac{(2n-2)!}{(2n)!}=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{5.6}+...+\dfrac{1}{(2n-1).2n}\] Như vậy nếu ta chỉ ra được đẳng thức : \[\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{5.6}+...+\dfrac{1}{(2n-1).2n}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{2n}\;\;\;\;(*)\] Thì bài toán được giải quyết. Ta chứng minh đẳng thức $(*)$ bằng quy nạp, dễ thấy với $n=1$ thì $(*)$ đúng, giả sử $(*)$ đúng . Xét $(*)$ với $n+1$ Ta có : \[\left ( \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{3.4}+....+\dfrac{1}{(2n-1).2n} \right )+\dfrac{1}{(2n+1)(2n+2)}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2(2n+1)(n+1)}=\left ( \dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+...+\dfrac{1}{2n} \right )+\dfrac{2(2n+1)+1}{2(2n+1)(n+1)}=\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+...+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}\]. Theo nguyên lí quy nạp, $(*)$ được chứng minh. Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh.

[Bài toán] Khai triển Abel trong chứng minh BĐT

Bài toán : Cho các số không âm $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ thỏa mãn $a_{1} a_{2} ... a_{k} \geq \frac{1}{( 2 k )!} \forall k = \overline{1, n}$ . Chứng minh rằng $a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} \geq \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{2 n}$

Lời giải :

Dự đoán đẳng thức xảy ra khi $a_{1} = \frac{1}{2 !}, a_{2} = \frac{2 !}{4 !}, a_{3} = \frac{4 !}{6 !}, ..., a_{n} = \frac{( 2 n - 2 )!}{( 2 n )!}$

Từ đó ta áp dụng khai triển $A b e l$ và BĐT $A M - GM$ :

$a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} = \frac{1}{2 !} . (2! a_{1}) + \frac{2 !}{4 !} . (\frac{4 !}{2 !} a_{2}) + \frac{4 !}{6 !} (\frac{6 !}{4 !} a_{3}) + ... + \frac{( 2 n - 2 )!}{( 2 n )!} (\frac{( 2 n )!}{( 2 n - 2 )!} a_{n}) = (\frac{1}{2 !} - \frac{2 !}{4 !}) 2! a_{1} + (\frac{2 !}{4 !} - \frac{4 !}{6 !}) (2! a_{1} + \frac{4 !}{2 !} a_{2}) + ... + (\frac{( 2 n - 4 )!}{( 2 n - 2 )!} - \frac{( 2 n - 2 )!}{( 2 n )!}) (2! a_{1} + \frac{4 !}{2 !} a_{2} + ... + \frac{( 2 n - 2 )!}{( 2 n - 4 )!} a_{n - 1}) + \frac{( 2 n - 2 )!}{( 2 n )!} (2! a_{1} + \frac{4 !}{2 !} a_{2} + ... + \frac{( 2 n )!}{( 2 n - 2 )!})$

$\geq (\frac{1}{2 !} - \frac{2 !}{4 !}) 2! a_{1} + (\frac{2 !}{4 !} - \frac{4 !}{6 !}) .2 4! a_{1} a_{2} + ... + \frac{( 2 n - 2 )!}{( 2 n )!} . n n (2 n)! a_{1} a_{2} ... a_{n} = (\frac{1}{2 !} - \frac{2 !}{4 !}) + 2 (\frac{2 !}{4 !} - \frac{4 !}{6 !}) + ... + (n - 1) (\frac{( 2 n - 4 )!}{( 2 n - 2 )!} - \frac{( 2 n - 2 )!}{( 2 n )!}) + n . \frac{( 2 n - 2 !)}{( 2 n )!} = \frac{1}{2 !} + \frac{2 !}{4 !} + \frac{4 !}{6 !} + ... + \frac{( 2 n - 2 )!}{( 2 n )!} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{5.6} + ... + \frac{1}{( 2 n - 1 ) .2 n}$

Như vậy nếu ta chỉ ra được đẳng thức :

$\frac{1}{1.2} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{5.6} + ... + \frac{1}{( 2 n - 1 ) .2 n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{2 n} (*)$

Thì bài toán được giải quyết.

Ta chứng minh đẳng thức $(*)$ bằng quy nạp, dễ thấy với $n = 1$ thì $(*)$ đúng, giả sử $(*)$ đúng . Xét $(*)$ với $n + 1$

Ta có :

$(\frac{1}{1.2} + \frac{1}{3.4} + .... + \frac{1}{( 2 n - 1 ) .2 n}) + \frac{1}{( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 )} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{2 n} + \frac{1}{2 ( 2 n + 1 ) ( n + 1 )} = (\frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + ... + \frac{1}{2 n}) + \frac{2 ( 2 n + 1 ) + 1}{2 ( 2 n + 1 ) ( n + 1 )} = \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + ... + \frac{1}{2 n} + \frac{1}{2 n + 1} + \frac{1}{2 n + 2}$ .

Theo nguyên lí quy nạp, $(*)$ được chứng minh.

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh.

[Bài toán] Khai triển Abel trong chứng minh BĐT

Đề bài

Mô tả