[Bài toán] Các đường đồng quy, phương tích, trục đẳng phương

Bài toán : Cho bốn điểm $A,B,C,D$ theo thứ tự đó nằm trên một đường thẳng. Gọi $E,F$ là các giao điểm của hai đường tròn : đường tròn $(O_1)$ đường kính $AC$ và đường tròn $(O_2)$ đường kính $BD$. Lấy $P$ là một điểm thuộc đường thẳng $EF$, $CP$ cắt $(O_1)$ tại $M$ và $BP$ cắt $(O_2)$ tại $N$. Chứng minh rằng $AM,DN,EF$ đồng quy.

Lời giải :

Gọi $L$ là giao điểm của $AM$ và $DN$.

Dễ thấy $\widehat{LMB}=\widehat{LNP}=90^0$ ($\widehat{LMB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$$\widehat{LNM}+\widehat{MNP}=\widehat{LNP}=90^0(1)$$

Mặt khác $P$ thuộc $EF$ là trục đẳng phương của hai đường tròn nên :

$$P_{P/(O_1)}=P_{P/(O_2)}\Rightarrow \overline{PN}.\overline{PB}=\overline{PM}.\overline{PC}$$

Do đó tứ giác $MNBC$ nội tiếp, suy ra $\widehat{MNP}=\widehat{BCM}$

Nhưng $\widehat{BCM}+\widehat{DAM}=180^0-\widehat{AMC}=90^0\Rightarrow \widehat{MNP}+\widehat{DAM}=180^0(2)$

Từ $(1)(2)$ ta suy ra $\widehat{LNM}=\widehat{DAM}$. Do đó tứ giác $MNAC$ nội tiếp.

Suy ra : $\overline{LM}.\overline{LA}=\overline{LN}.\overline{LC}\Rightarrow P_{L/(O_1)}=P_{L/(O_2)}\Rightarrow$ $L$ thuộc trục đẳng phương $EF$ của hai đường tròn.

Vậy : Các đường thẳng $EF,AM,BN$ đồng quy