[Bài toán] Bất đẳng thức lượng giác

Bài toán (Đề nghị Olympic 30/4 môn toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa TpHCM) : Cho tam giác  $ABC$ nhọn. Chứng minh :

$co{s}^2\frac{A-B}{2}+co{s}^2\frac{B-C}{2}+co{s}^2\frac{C-A}{2}$$\ge 24sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$.

Lời giải :

Chú ý do tam giác $ABC$ nhọn nên các giá trị $cos\frac{B-C}{2},cos\frac{C-A}{2},cos\frac{A-B}{2}$ đều dương

Trước hết ta sẽ chứng minh rằng :

$cos\frac{A-B}{2}.cos\frac{B-C}{2}.cos\frac{C-A}{2}$$\ge 8sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}(\ast )$

Ta có $sinA+sinB=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}=2cos\frac{C}{2}cos\frac{A-B}{2}\Rightarrow \frac{sinA+sinB}{2cos\frac{C}{2}}=cos\frac{A-B}{2}$

Do đó ta quy về chứng minh :

$\frac{(sinA+sinB)(sinB+sinC)(sinC+sinA)}{8.cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}$$\ge 8sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$$\iff (sinA+sinB)(sinB+sinC)(sinC+sinA)$$\ge 8sinAsinBsinC$

Đúng theo $AM-GM$.

Như vậy $(\ast )$ được chứng minh.

Trở lại bài toán,

Theo AM-GM : $P\ge 3\sqrt[3]{cos\frac{A-B}{2}cos\frac{B-C}{2}cos\frac{C-A}{2}}$

Cần chứng minh :

$3\sqrt[3]{co{s}^2\frac{A-B}{2}co{s}^2\frac{B-C}{2}co{s}^2\frac{C-A}{2}}$$\ge 24sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$$\iff co{s}^2\frac{A-B}{2}co{s}^2\frac{B-C}{2}co{s}^2\frac{C-A}{2}$$\ge 8^{3}si{n}^3\frac{A}{2}si{n}^3\frac{B}{2}si{n}^3\frac{C}{2}$

Áp dụng $(\ast )$, ta đi chứng minh :

$8^{2}si{n}^2\frac{A}{2}si{n}^2\frac{B}{2}si{n}^2\frac{C}{2}$$\ge 8^{3}si{n}^3\frac{A}{2}si{n}^3\frac{B}{2}si{n}^3\frac{C}{2}$$\iff sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$$\le \frac{1}{8}$

Luôn đúng vì đây là một kết quả quen thuộc, ta có điều phải chứng minh.