Phương pháp Vieta Jumping

Bài toán (CĐT VMO Bình Định 2013-2014) : Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $\frac{ab(5a^2+5b^2-2)}{5ab-1}\in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng $a=b$

Lời giải :

Vì $gcd(ab,5ab-1)=1$ nên ta có $\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}\in \mathbb{Z}$. Đặt $\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}=k\in \mathbb{Z}$.

Dễ dàng có $5(a^2+b^2)-2\ge 10ab-2>5ab-1\Rightarrow k=\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}>1\Rightarrow k\ge 2$.

Xét tập $S=\left\{(a,b)\in {\mathbb{Z}}^{+}\times {\mathbb{Z}}^{+}\mid k=\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}\in \mathbb{Z}\right\}$

Cố định $k$ và trong các phần tử của $S$, ta chọn ra cặp số $(A,B)$ nguyên dương thỏa mãn tổng $A+B$ nhỏ nhất. Gỉa sử $A\ne B$, không mất tính tổng quát, xét $A>B$.

Xét phương trình bậc hai ẩn $x$ :

$$\frac{5x^2+5B^2-2}{5xB-1}=k\iff 5x^2-5xBk+5B^2+k-2=0$$

Dễ thấy phương trình này có một nghiệm là $A$, gọi nghiệm còn lại là $x_0$. Theo định lí $Viete$, ta có :

$$\{\begin{array}{ccc}A+x_0=Bk& (1)& \\ A{x}_0=\frac{5B^2+k-2}{5}& (2)& \end{array}$$

Từ $(1)$ ta có $x_0$ nguyên. Nếu $x_0<0$ thì $x_0\le -1\Rightarrow 5x_0^2-5x_{0}Bk+5B^2+k-2\ge 5+5Bk+5B^2+k-2>0$. Mâu thuẫn. Nếu $x_0>0$ thì $(x_0,B)\in S$.

Khi đó do tính nhỏ nhất của tổng $A+B$ mà ta có $x_0\ge A\Rightarrow \frac{5B^2+k-2}{5A}\ge A\iff \frac{5A^2+5B^2-2}{5AB-1}-2\ge 5(A-B)(A+B)\iff \frac{5(A-B{)}^2}{5AB-1}\ge 5(A-B)(A+B)\iff A-B\ge (A+B)(5AB-1)$.

Rõ ràng điều này vô lí.

Như vậy phải có $x_0=0$, suy ra $5B^2=2-k\ge 0$, lại có $k\ge 2$, do đó $k=2$.

Suy ra $\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}=2\iff (a-b{)}^2=0\iff a=b$. Đây là điều phải chứng minh.