Phép thế lượng giác trong những bài toán phương trình, hệ phương trình

PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1) Một số phép thế lượng giác cơ bản :

a) Nếu $x\in \left[-a,a\right](a>0)$ thì đặt $x=acos\alpha ,\alpha \in \left[0,\pi \right]$ hoặc $x=asin\alpha ,\alpha \in \left[\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$

b) Nếu $x\in \mathbb{R}$ thì đặt $x=tan\alpha ,\alpha \in \left(\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

c) Nếu hai biến $x,y$ thỏa mãn hệ thức $a^2{x}^2+b^2{y}^2=c^2$ thì đặt $\{\begin{array}{ccc}x=\frac{c}{a}sin\alpha & & \\ y=\frac{c}{b}cos\alpha & & \end{array},\alpha \in \left[0,2\pi \right]$

d) Nếu ba biến $x,y,z$ thỏa mãn một trong hai hệ thức $x+y+z=xyz$ hoặc $xy+yz+zx=1$ thì đặt $x=tan\alpha ,y=tan\beta ,z=tan\gamma ,\alpha ,\beta ,\gamma \in \left(\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

Một số dấu hiệu khi nhận dạng phương trình để sử dụng phép thế lượng giác là những biểu thức có “chất” lượng giác cao như :

$$\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x},\frac{2x}{1+x^2},\sqrt{1+x^2},\frac{2x}{1-x^2},\frac{x^3-3x}{3x^2-1},4x^3-3x,...$$

2) Một số phương trình lượng giác cơ bản :

a) $cosx=cos\alpha \iff \{\begin{array}{ccc}x=\alpha +k2\pi & & \\ x=-\alpha +k2\pi & & \end{array},k\in \mathbb{Z}$

b) $sinx=sin\alpha \iff \{\begin{array}{c}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$

c) $tanx=tan\alpha \iff x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

d) $cotx=cot\alpha \iff x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

3) Một số công thức lượng giác 

$$cos2x=2co{s}^{2}x-1=1-2si{n}^{2}x$$

$$cos3x=4co{s}^{3}x-3cosx$$

$$cos4x=8co{s}^{4}x-8co{s}^{2}x+1$$

$$cos5x=16co{s}^{5}x-20co{s}^{3}x+5cosx$$

$$cos6x=32co{s}^{6}x-48co{s}^{4}x+18co{s}^{2}x-1$$

$$cos7x=64co{s}^{7}x-112co{s}^{5}x+56co{s}^{3}x-7cosx$$

$$sin3x=3sinx-4si{n}^{3}x$$

$$sin5x=16si{n}^{5}x-20si{n}^{3}x+5sinx$$

$$sin7x=-65si{n}^{7}x+112si{n}^{5}x-56si{n}^{3}x+7sinx$$

$$tan2x=\frac{2tanx}{1-ta{n}^{2}x}$$

$$tan3x=\frac{3tanx-ta{n}^{3}x}{1-3ta{n}^{2}x}$$

$$tan4x=\frac{4tanx-4ta{n}^{3}x}{1-6ta{n}^{2}x+ta{n}^{4}x}$$

5) Giải tổng quát phương trình bậc ba dạng chính tắc bằng phép thế lượng giác.

Xét phương trình bậc ba dạng chính tắc : $x^3+px+q=0$

Trong trường hợp biểu thức ${\Delta }^{\prime }=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\ge 0$ thì phương trình bậc ba này được giải tổng quát bằng công thức nghiệm $Cardano$.

Trong trường hợp biểu thức ${\Delta }^{\prime }=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}<0$ thì ta dùng phép thế lượng giác như sau :

Đặt $x=acost$ với $t\in \left[0,\pi \right]$, ta được phương trình :  $a^{3}co{s}^{3}t+pacost+q=0$

Chọn $a$ sao cho $a^{3}co{s}^{3}t+pacost$ là một “bội số” của $4co{s}^{3}t-3cost$.

Tức là $\frac{a^3}{pa}=\frac{4}{-3}\Rightarrow a=\sqrt{\frac{-4p}{3}}$.

Ta luôn chọn được $a$ vì ${\Delta }^{\prime }=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}<0$ nên $p<0$.