[Bài toán] Định lí Legendre

Bài toán : Chứng minh rằng $\frac{(km)!(kn)!}{{\left((m+n)!\right)}^{k-1}m!n!}\in \mathbb{Z}\forall k,m,n\in {\mathbb{Z}}^{+}$

Lời giải :

Bổ đề 1 : Với mọi số nguyên dương $k$ và số thực $x$ thì $\left[kx\right]=k[x]+r$ với $r\in \left\{0,1,2,...,k-1\right\}$

Chứng minh bổ đề 1 :

Nếu $\left\{x\right\}\le \frac{1}{k}$ thì $kx-k[x]=k\left\{x\right\}\le k.\frac{1}{k}=1\Rightarrow k[x]\le kx\le k[x]+1\Rightarrow [kx]=k[x]$

Nếu $\left\{x\right\}>\frac{1}{k}$ thì $kx-k[x]=k\left\{x\right\}>k.\frac{1}{k}=1\Rightarrow kx>k[x]+1$

Mặt khác $kx-k[x]=k\left\{x\right\}<k.1=k$

Suy ra $k[x]+1<kx<k[x]+k$.

Từ hai trường hợp trên thì bổ đề chứng minh hoàn tất.

Bổ đề 2 : Với mọi số nguyên dương $k$ và số thực $a,b$ thì ta luôn có bất đẳng thức $[ka]+[kb]\ge (k-1)[a+b]+[a]+[b]$

Chứng minh bổ đề 2 :

Theo bổ đề 1, dễ thấy $min\left\{[ka]\right\}=k[a]$ và $min\left\{[kb]\right\}=k[b]$

Ta chỉ cần chứng minh $min\left\{[ka]+[kb]\right\}=[ka]+[kb]\ge (k-1)[a+b]+[a]+[b]$ thì bổ đề 2 được chứng minh.

Thật vậy, ta có $(k-1)[a+b]+[a]+[b]\le (k-1)\left([a]+[b]\right)+[a]+[b]=k[a]+k[b]$

Như vậy bổ đề 2 chứng minh hoàn tất.

Trở lại bài toán :

Xét phân tích tiêu chuẩn ra thừa số nguyên tố của tử số và mẫu số.

Theo định lí $Legendre$, số mũ lớn nhất của thừa số nguyên tố $p$ trong tử số là :

$v_p\left((km)!(kn)!\right)$$=\underset{k=1}{\sum ^{+\infty }}\left(\left[\frac{km}{p^k}\right]+\left[\frac{kn}{p^k}\right]\right)$

Và số mũ lớn nhất của thừa số nguyên tố $p$ trong mẫu số là :

$v_p\left({\left((m+n)!\right)}^{k-1}m!n!\right)$$=\underset{k=1}{\sum ^{+\infty }}\left((k-1)\left[\frac{m+n}{p^k}\right]+\left[\frac{m}{p^k}\right]+\left[\frac{n}{p^k}\right]\right)$

Theo bổ đề 2, dễ dàng thấy rằng $v_p\left({\left((m+n)!\right)}^{k-1}m!n!\right)\le v_p\left((km)!(kn)!\right)$

Suy ra $\frac{(km)!(kn)!}{{\left((m+n)!\right)}^{k-1}m!n!}\in \mathbb{Z}\forall k,m,n\in {\mathbb{Z}}^{+}$