Bài toán (Balkan 2000) : Cho tập $A=\left \{ a_1,a_2,...,a_k \right \}$ với $a_i\in \mathbb{N}\;\forall i=\overline{1,k}$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $n$ sao cho các phần tử của tập $B=\left \{ na_1,na_2,...,na_k \right \}$ đều là lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn $1$. Lời giải : Xét $k$ số nguyên tố phân biệt $p_1,p_2,...,p_k$. Xét các hệ đồng dư tuyến tính : \[\left\{\begin{matrix} x_1\equiv -1\;(mod\;p_1)\\ x_1\equiv 0\;(mod\;p_i)\;\;\forall i\in \left \{ 2,3,..,k \right \}\\\ \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix} x_2\equiv -1\;(mod\;p_2)\\ x_2\equiv 0\;(mod\;p_i)\;\;\forall i\in \left \{ 1,3,..,k \right \}\\\ \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix} x_3\equiv -1\;(mod\;p_3)\\ x_3\equiv 0\;(mod\;p_i)\;\;\forall i\in \left \{ 1,2,4,..,k \right \}\\\ \end{matrix}\right.\] …. \[\left\{\begin{matrix} x_k\equiv -1\;(mod\;p_k)\\ x_k\equiv 0\;(mod\;p_i)\;\;\forall i\in \left \{ 1,2,3,..,k-1 \right \}\\\ \end{matrix}\right.\] Theo định lí phần dư Trung Hoa thì các hệ này đều có nghiệm. Từ đó ta suy ra rằng $\left\{\begin{matrix} \dfrac{x_1+1}{p_1},\dfrac{x_2}{p_1},...,\dfrac{x_k}{p_1}\in \mathbb{Z}\\ \\\ \dfrac{x_2}{p_1},\dfrac{x_2+1}{p_2},...,\dfrac{x_2}{p_k}\in \mathbb{Z}\\ .\\ .\\ \dfrac{x_k}{p_1},\dfrac{x_k}{p_2},...,\dfrac{x_k+1}{p_k}\in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$ Khi đó chọn số $n=a_1^{x_1}a_2^{x_2}...a_k^{x_k}$ thì $na_1=a_1^{x_1+1}a_2^{x_2}...a_k^{x_k}=\left ( a_1^{\frac{x_1+1}{p_1}}a_2^{\frac{x_2}{p_1}}...a_k^{\frac{x_k}{p_1}} \right )^{p_1}$, $na_2=a_1^{x_1}a_2^{x_2+1}...a_k^{x_k}=\left ( a_1^{\frac{x_1}{p_2}}a_2^{\frac{x_2+1}{p_2}}...a_k^{\frac{x_k}{p_2}} \right )^{p_2}$, ….,$na_k=a_1^{x_1}a_2^{x_2}...a_k^{x_k+1}=\left ( a_1^{\frac{x_1}{p_k}}a_2^{\frac{x_2}{p_k}}...a_k^{\frac{x_k+1}{p_k}} \right )^{p_k}$ Điều này cho thấy các phần tử của $B$ đều là lũy thừa của một số tự nhiên. Suy ra điều phải chứng minh.

[Bài toán] Ứng dụng định lí phần dư Trung Hoa

Bài toán (Balkan 2000) : Cho tập $A = {a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}}$ với $a_{i} \in N \forall i = \overline{1, k}$ . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $n$ sao cho các phần tử của tập $B = {n a_{1}, n a_{2}, ..., n a_{k}}$ đều là lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn $1$ .

Lời giải :

Xét $k$ số nguyên tố phân biệt $p_{1}, p_{2}, ..., p_{k}$ .

Xét các hệ đồng dư tuyến tính :

$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} \equiv - 1 (m o d p_{1}) x_{1} \equiv 0 (m o d p_{i}) \forall i \in {2, 3, .., k}$

$⎩ ⎨ ⎧ x_{2} \equiv - 1 (m o d p_{2}) x_{2} \equiv 0 (m o d p_{i}) \forall i \in {1, 3, .., k}$

$⎩ ⎨ ⎧ x_{3} \equiv - 1 (m o d p_{3}) x_{3} \equiv 0 (m o d p_{i}) \forall i \in {1, 2, 4, .., k}$

….

$⎩ ⎨ ⎧ x_{k} \equiv - 1 (m o d p_{k}) x_{k} \equiv 0 (m o d p_{i}) \forall i \in {1, 2, 3, .., k - 1}$

Theo định lí phần dư Trung Hoa thì các hệ này đều có nghiệm.

Từ đó ta suy ra rằng $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x _{1} + 1}{p _{1}}, \frac{x _{2}}{p _{1}}, ..., \frac{x _{k}}{p _{1}} \in Z \frac{x _{2}}{p _{1}}, \frac{x _{2} + 1}{p _{2}}, ..., \frac{x _{2}}{p _{k}} \in Z . . \frac{x _{k}}{p _{1}}, \frac{x _{k}}{p _{2}}, ..., \frac{x _{k} + 1}{p _{k}} \in Z$

Khi đó chọn số $n = a_{1}^{x_{1}} a_{2}^{x_{2}} ... a_{k}^{x_{k}}$ thì $n a_{1} = a_{1}^{x_{1} + 1} a_{2}^{x_{2}} ... a_{k}^{x_{k}} = (a_{1}^{\frac{x _{1} + 1}{p _{1}}} a_{2}^{\frac{x _{2}}{p _{1}}} ... a_{k}^{\frac{x _{k}}{p _{1}}})^{p_{1}}$ , $n a_{2} = a_{1}^{x_{1}} a_{2}^{x_{2} + 1} ... a_{k}^{x_{k}} = (a_{1}^{\frac{x _{1}}{p _{2}}} a_{2}^{\frac{x _{2} + 1}{p _{2}}} ... a_{k}^{\frac{x _{k}}{p _{2}}})^{p_{2}}$ , …., $n a_{k} = a_{1}^{x_{1}} a_{2}^{x_{2}} ... a_{k}^{x_{k} + 1} = (a_{1}^{\frac{x _{1}}{p _{k}}} a_{2}^{\frac{x _{2}}{p _{k}}} ... a_{k}^{\frac{x _{k} + 1}{p _{k}}})^{p_{k}}$

Điều này cho thấy các phần tử của $B$ đều là lũy thừa của một số tự nhiên.

Suy ra điều phải chứng minh.

[Bài toán] Ứng dụng định lí phần dư Trung Hoa

Đề bài

Mô tả