Bài toán : Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại một bội số của $p$ sao cho $10$ chữ số tận cùng của nó đôi một khác nhau. Lời giải : Nếu $p=2$ thì hiển nhiên luôn tồn tại một số thỏa đề, ví dụ $1234567899876543210$ Nếu $p=5$ thì cũng luôn tồn tại một số thỏa đề, ví dụ $1234567899876432105$ Xét $p\notin \left \{ 2,5 \right \}$. Xét hệ đồng dư tuyến tính : $\left\{\begin{matrix} x\equiv \overline{a_0a_1a_2...a_{9}}\;(mod\;10^{10})\\ x\equiv 0\;(mod\;p) \end{matrix}\right.$ trong đó $a_i$ đôi một khác nhau và $a_{i}\in \left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right \}$. Vì $p\in \mathbb{P},p\neq 2,p\neq 5$ nên $gcd(p,10^{10})=1$, do đó theo định lí phần dư Trung Hoa thì hệ này chắc chắn có nghiệm, nghiệm của hệ chính là số thỏa mãn đề bài. Ta có điều phải chứng minh.

[Bài toán] Ứng dụng định lí phần dư Trung Hoa

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán : Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại một bội số của $p$ sao cho $10$ chữ số tận cùng của nó đôi một khác nhau.

Lời giải :

Nếu $p = 2$ thì hiển nhiên luôn tồn tại một số thỏa đề, ví dụ $1234567899876543210$

Nếu $p = 5$ thì cũng luôn tồn tại một số thỏa đề, ví dụ $1234567899876432105$

Xét $p \in / {2, 5}$ .

Xét hệ đồng dư tuyến tính : ${x \equiv \overline{a_{0} a_{1} a_{2} ... a_{9}} (m o d 1 0^{10}) x \equiv 0 (m o d p)$ trong đó $a_{i}$ đôi một khác nhau và $a_{i} \in {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ .

Vì $p \in P, p \neq = 2, p \neq = 5$ nên $g c d (p, 1 0^{10}) = 1$ , do đó theo định lí phần dư Trung Hoa thì hệ này chắc chắn có nghiệm, nghiệm của hệ chính là số thỏa mãn đề bài.

Ta có điều phải chứng minh.

Mô tả

Bài toán : Cho là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại một bội số của sao cho chữ số tận cùng của nó đôi một khác nhau. Lời giải : Nếu thì hiển nhiên luôn tồn tại một số thỏa đề, ví dụ Nếu thì cũng luôn tồn tại một số thỏa đề, […]

Số họcĐịnh lí phần dư Trung Hoa

Nguồn: julielltv