[Bài toán] Cấp của một số nguyên

Bài toán : Tìm số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n\mid 2^n-1$.

Lời giải :

Ta thấy $n=1$ thỏa mãn. Xét $n>1$. Gọi $p$ là ước nguyên tố bé nhất của $n$.

Theo đề bài ta có $2^n\equiv 1(modp)\Rightarrow or{d}_p(2)\mid n$.

Theo định lí $Fermat$ nhỏ thì $2^{p-1}\equiv 1(modp)\Rightarrow or{d}_p(2)\mid p-1\Rightarrow p>p-1>or{d}_p(2)$

Ta gọi $q$ là ước nguyên tố của $or{d}_p(2)$, ta thấy $q\mid n$ và $p>q$. Điều này mâu thuẫn vì $p$ là ước nguyên tố bé nhất của $n$. Trường hợp này không tìm được $n$ thỏa đề.

Kết luận : Có duy nhất số nguyên dương thỏa mãn đề bài là $\boxed{n=1}$