[Bài toán] Hệ phương trình

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu, tỉnh Đồng Tháp)

Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}\sqrt{1-x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\right)=x\left(y+\sqrt{y}\right)(1)\\ 32x(x^2-1)(2x^2-1{)}^2+y=0(2)\end{array}$

Lời giải :

Điều kiện $x\in \left[0,1\right],y\in \left[0,+\infty \right)$

Xét $x=0$ thì từ $(2)$ suy ra $y=0$. Cặp $(0,0)$ không thỏa $(1)$.

Xét $x\ne 0$, chia hai vế của phương trình $(1)$ cho $x\ne 0$, được :

$\sqrt{\frac{1-x}{x}}\left(1+\sqrt{\frac{1-x}{x}}\right)$$=y+\sqrt{y}$$\iff \frac{1-x}{x}+\sqrt{\frac{1-x}{x}}$$=y+\sqrt{y}$

Xét hàm số $f(t)=t^2+t$, hàm này đồng biến trên $\left(\frac{-1}{2},+\infty \right)$ mà $\sqrt{\frac{1-x}{d}},\sqrt{y}\in \left(0,+\infty \right)\subset \left(\frac{-1}{2},+\infty \right)$

Nên $f\left(\sqrt{\frac{1-x}{x}}\right)=f(\sqrt{y})\iff \frac{1-x}{x}=y$

Thay vào phương trình $(2)$ thì :

$$32x(x^2-1)(2x^2-1{)}^2=1-\frac{1}{x}\iff 32x^2(1-x^2)(2x^2-1)=1-x$$

Vì  $x\in \left[0,1\right]$ nên đặt $x=cost,t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$.

Ta được phương trình :

$32co{s}^{2}t(1-co{s}^{2}t)(2co{s}^{2}t-1{)}^2$$=1-cost$$\iff 32co{s}^{2}t.si{n}^{2}t.co{s}^{2}2t$$=1-cost$$\iff 8si{n}^{2}2tco{s}^{2}2t$$=1-cost$$\iff 1-2si{n}^{2}4t$$=cost$$\iff cos8t$$=cost$$\iff 8t$$=\pm t+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

Mà $t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ nên tìm được $t\in \left\{\frac{2\pi }{7},\frac{2\pi }{9},\frac{4\pi }{9}\right\}$

Kết luận : Nghiệm của hệ là $\left(x,y\right)=\left(cos\alpha ,\frac{1}{cos\alpha }-1\right)$ với $\alpha \in \left\{\frac{2\pi }{7},\frac{2\pi }{9},\frac{4\pi }{9}\right\}$