[Bài toán] Phương trình vô tỉ

Bài toán : Giải phương trình $\sqrt{\frac{1}{2}-x\sqrt{1-x^2}}=1-2x^2$

Lời giải :

Từ phương trình ta thấy phải có $\left|x\right|\le 1$.

Do vậy ta đặt $x=sint,t\in \left[\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$.

Ta được phương trình :

$\sqrt{\frac{1}{2}-sint\sqrt{1-si{n}^{2}t}}$$=1-2si{n}^{2}t$$\iff \sqrt{\frac{1}{2}-sintcost}$$=cos2t$$\iff \sqrt{\frac{1-sin2t}{2}}$$=cos2t$$\iff 1-sin2t$$=2co{s}^{2}2t$$\iff -sin2t$$=cos4t$$\iff cos\left(2t+\frac{\pi }{2}\right)$$=cos4t$$\iff 2t+\frac{\pi }{2}$$=\pm 4t+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

Chú ý rằng $t\in \left[\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ ta tìm được $t\in \left\{\frac{\pi }{4},\frac{-5\pi }{12},\frac{-\pi }{12}\right\}$

Thử lại ta kết luận tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{sin\frac{\pi }{4},sin\frac{-\pi }{12}\right\}=\left\{\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right\}$