Phương trình nghiệm nguyên

Bài toán (IMO Shortlist 2006)

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn phương trình $\frac{x^7-1}{x-1}=y^5-1$.

Lời giải :

Bổ đề : Cho các số nguyên dương $x,m$ ($x>1$) và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $m\mid \frac{x^p-1}{x-1}$. Khi đó thì $m\equiv 0,1(modp)$

Chứng minh bổ đề :

Gọi $r$ là một ước nguyên tố của $m$.

Từ đề bài ta có

$m\mid x^p-1$$\Rightarrow x^p$$\equiv 1(modm)$$\Rightarrow x^p$$\equiv 1(modr)$$\Rightarrow or{d}_x(r)\mid p$$\Rightarrow or{d}_x(r)\in \left\{1,p\right\}$

Nếu $or{d}_x(r)=1$ thì $x\equiv 1(modr)\Rightarrow \frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1\equiv \underset{p}{\underbrace{1+1+...+1}}=p(modr)$

Mà $\frac{x^p-1}{x-1}\equiv 0(modr)\Rightarrow p\equiv 0(modr)\Rightarrow p=r\Rightarrow m\equiv 0(modp)$

Nếu $or{d}_x(r)=p$, hiển nhiên $r\nmid x$ vì nếu $r\mid x$ thì $\frac{x^p-1}{x-1}\equiv 1(modr)$ và điều này trái giả thiết.

Do đó áp dụng định lí $Fermat$ nhỏ thì $x^{r-1}\equiv 1(modr)$, suy ra $or{d}_x(r)\mid r-1\Rightarrow p\mid r-1\Rightarrow r\equiv 1(modp)\Rightarrow m\equiv 1(modp)$

Như vậy ta có $m\equiv 0,1(modp)$. Bổ đề được chứng minh.

Trở lại bài toán :

Ta viết phương trình dưới dạng : $\frac{x^7-1}{x-1}=(y-1)(y^5+y^4+y^3+y^2+y+1)$

Áp dụng bổ đề trên thì ta có $\{\begin{array}{ccc}y-1\equiv 0,1(mod7)& (1)& \\ y^4+y^3+y^2+y+1\equiv 0,1(mod7)& (2)& \end{array}$

Nhưng từ $(1)$ ta có $y\equiv 1,2(mod7)\Rightarrow y^4+y^3+y^2+y+1\equiv 5,3(mod7)$. Mâu thuẫn với $(2)$.

Kết luận : Không tồn tại các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn đề bài.