[Bài toán] Cấp của một số nguyên

Bài toán (USA TST 2003): Tìm các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa mãn đồng thời $p\mid q^r+1,q\mid r^p+1,r\mid p^q+1$.

Lời giải :

Bổ đề : Cho các số nguyên tố $p,q,r$ trong đó $p$ lẻ và thỏa mãn $p\mid q^r+1$ thì khi đó $2r\mid p-1$ hoặc $p\mid q^2-1$

Xem chứng minh bổ đề tại đây

Trở lại bài toán.

Nhận thấy rằng các số nguyên tố $p,q,r$ phải phân biệt.

• Trường hợp 1 : Xét các số nguyên tố $p,q,r$ đều lẻ.

Theo bổ đề ta có $2r\mid p-1$ hoặc $p\mid q^2-1$.

Nếu $2r\mid p-1\Rightarrow p\equiv 1(modr)\Rightarrow 0\equiv p^q+1\equiv 2(modr)\Rightarrow r=2$ (loại)

Do vậy phải có $p\mid q^2-1\Rightarrow p\mid q-1\vee p\mid q+1$.

Nếu $p\mid q-1\Rightarrow q\equiv 1(modp)\Rightarrow 0\equiv q^r+1\equiv 2(modp)\Rightarrow p=2$ (loại)

Suy ra $p\mid q+1$ mà $q+1$ chẵn và $gcd(2,p)=1$ nên $2p\mid q+1$, từ đó $q+1\ge 2p$

Hoàn toàn tương tự ta được $r+1\ge 2q$ và $p+1\ge 2r$.

Như vậy $p+q+r+3\ge 2(p+q+r)\iff p+q+r\le 3$ và đây là điều vô lí.

• Trường hợp 2 : Trong các số $p,q,r$ có ít nhất một số chẵn. Gỉa sử $r=2$.

Khi đó giả thiết trở thành $q\mid 2^p+1$ và $p\mid q^2+1$.

Cũng theo bổ đề trên thì ta được $q\mid r^2-1$ hoặc $2p\mid q-1$. Nếu mà $2p\mid q-1$ thì $q\equiv 1(modp)\Rightarrow 0\equiv q^2+1\equiv 2(modp)\Rightarrow p=2$ (loại vì $p,q,r$ phải phân biệt)

Như vậy có $q\mid r^2-1=2^2-1=3\Rightarrow q=3$. Từ đó $p\mid q^2+1=3^2+1=10\Rightarrow p=5$

Bộ số $(p,q,r)=(5,3,2)$ thoả mãn.

Kết luận : $\boxed{(p,q,r)=(5,3,2),(2,5,3),(3,2,5)}$