[Bài toán] Hệ phương trình

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 môn toán 11 năm 2011 THPT Chuyên Hùng Vương, tỉnh Gia Lai)

Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}{x}^{2011}+304x{y}^{2010}=y^{4022}+304y^{2012}(1)\\ 162y^2+27\sqrt{3}={\left(8x^3-\sqrt{3}\right)}^3(2)\end{array}$

Lời giải :

Xét $y=0$, từ $(1)$ ta được $x=0$. Nhưng $(0,0)$ không thỏa mãn $(2)$

Ta xét $y\ne 0$ :

Chia hai vế của phương trình $(1)$ cho $y^{2011}\ne 0$ : ${\left(\frac{x}{y}\right)}^{2011}+304.\frac{x}{y}=y^{2011}+304y$

Xét hàm số $f(t)=t^{2011}+304t$, dễ thấy hàm này đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên từ $f\left(\frac{x}{y}\right)=f(y)\iff \frac{x}{y}=y\iff x=y^2$

Thay vào $(2)$ ta được phương trình : $8x^3-\sqrt{3}=\sqrt[3]{162x+27\sqrt{3}}$

Đặt $2x=t$ thì $t^3-\sqrt{3}=\sqrt[3]{81t+27\sqrt{3}}=3\sqrt[3]{3t+\sqrt{3}}$

Lại đặt $\sqrt[3]{3t+\sqrt{3}}=y$ ta được hệ đối xứng loại II :

$$\{\begin{array}{c}{t}^3-\sqrt{3}=3y\\ y^3-\sqrt{3}=3t\end{array}$$

Trừ vế theo vế hai phương trình $t^3-y^3=-3(t-y)\iff (t-y)(t^2+ty+y^2+3)=0$. Tương đương $x=y$.

Dẫn đến phương trình $t^3-3t=\sqrt{3}(\ast )$

Xét $|t|\le 2$, dùng phép thế lượng giác $t=2cosa,a\in \left[0,\pi \right]$

Ta được phương trình lượng giác $4co{s}^{3}a-3cosa=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff cos3a=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff 3a=\pm \frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$

Vì $a\in \left[0,\pi \right]$ nên tìm được $t\in \left\{2cos10^0,2cos130^0,2cos110^0\right\}$

Vì $(\ast )$ có bậc ba nên có tối đa ba nghiệm, do đó trường hợp $|t|>2$ thì $(\ast )$ vô nghiệm.

Kết luận : Nghiệm của hệ là $\left(x,y\right)=\left(cos10^0,co{s}^{2}10^0\right),(cos130^0,co{s}^{2}130^0),(cos110^0,co{s}^{2}110^0)$