[Bài toán] Phương trình vô tỉ

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2002 THPT Thị xã Cao Lãnh tỉnh Đồng Tháp) Giải phương trình $2x^3-x^2+\sqrt[3]{2x^3-3x+1}=3x+1+\sqrt[3]{x^2+2}$

Lời giải :

Đưa phương trình về dạng : $(2x^3-3x)+\sqrt[3]{2x^3-3x+1}=x^2+1+\sqrt[3]{x^2+2}$

Xét hàm số $f(x)=x+\sqrt[3]{x+1}$. Dễ dàng thấy được hàm này đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Khi đó ta có

$f(2x^3-3x)$$=f(x^2+1)$$\iff 2x^3-3x$$=x^2+1$$\iff 2x^3-x^2-3x-1$$=0$$\iff (2x+1)(x^2-x-1)$$=0$$\iff x\in \left\{\frac{-1}{2},\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\right\}$.

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{-1}{2},\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\right\}$