[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên

Bài toán : Cho trước các số nguyên dương $m,n,p$. Chứng minh rằng các phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương :

a) $x^2+y^2=(m^2+n^2{)}^z$

b) $x^4+y^4+z^4=(m^2+n^2+p^2{)}^t$

Lời giải :

Xét số nguyên dương $k$ bất kì.

a) Phương trình có hai họ nghiệm nguyên dương $\boxed{(x,y,z)=\left(m(m^2+n^2{)}^k,n(m^2+n^2{)}^k,2k+1\right),\left(\left|m^2-n^2\right|(m^2+n^2{)}^{k-1},2mn(m^2+n^2{)}^{k-1},2k\right)}$

b) Phương trình có họ nghiệm $\boxed{(x,y,z,t)=\left(m(m^4+n^4+p^4{)}^k,m(m^4+n^4+p^4{)}^k,p(m^4+n^4+p^4{)}^k,4k+1\right)}$