[Bài toán] Hệ phương trình vô tỉ

Bài toán : Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}\sqrt[4]{x}\left(\frac{1}{4}-\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y}\right)=2\\ \sqrt[4]{y}\left(\frac{1}{4}+\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y}\right)=1\end{array}$

Lời giải :

Điều kiện $x\ge 0,y\ge 0,x+y\ne 0$

Dễ thấy $(0,y),(x,0)$ không là nghiệm.

Khi đó ta viết phương trình thành : $\{\begin{array}{c}\frac{1}{4}+\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y}=\frac{2}{\sqrt[4]{x}}\\ \frac{1}{4}-\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y}=\frac{1}{\sqrt[4]{y}}\end{array}$

Cộng vế và trừ vế hai phương trình này thì ta được hệ tương đương :

$$\{\begin{array}{ccc}\frac{2(2\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x+y}=\frac{2}{\sqrt[4]{x}}-\frac{1}{\sqrt[4]{y}}& & \\ \frac{1}{2}=\frac{2}{\sqrt[4]{x}}+\frac{1}{\sqrt[4]{y}}& & \end{array}$$

Nhân vế theo vế hai phương trình này : $\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y}=\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}\iff x\sqrt{x}-4y\sqrt{y}+2y\sqrt{x}-2x\sqrt{y}=0$

Chia hai vế của phương trình này cho $x\sqrt{x}\ne 0$, ta được :

$$1-4\sqrt{{\left(\frac{y}{x}\right)}^3}+2.\frac{y}{x}-2.\sqrt{\frac{y}{x}}=0$$

Đặt $\sqrt{\frac{y}{x}}=t>0$ ta thu được phương trình bậc ba $4t^3-2t^2+2t-1=0\iff t=\frac{1}{2}\iff \frac{y}{x}=\frac{1}{4}\iff x=4y$

Dẫn đến phương trình :

$\frac{2}{\sqrt[4]{4y}}+\frac{1}{\sqrt[4]{y}}$$=\frac{1}{2}$$\iff \frac{1}{\sqrt[4]{y}}\left(\sqrt{2}+1\right)$$=\frac{1}{2}$$\iff y$$=16(\sqrt{2}+1{)}^4$

Kết luận : Nghiệm của phương trình đã cho là $(x,y)=\left(64(\sqrt{2}+1{)}^4,16{\left(\sqrt{2}+1\right)}^4\right)$