[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Hoàng Lệ Kha tỉnh Tây Ninh)  : Tìm hai số nguyên dương $a,b$ sao cho $a^{3b}=b^{2a^2}$

Lời giải :

Dễ thấy cặp $(1,1)$ thỏa mãn. Xét $a,b\ge 2$.

• Trường hợp 1 : Nếu $4a^2\ge 3b$

Ta có $a^{3b}=b^{2a^2}\iff a^{6b}=b^{4a^2}\iff {\left(\frac{a^2}{b}\right)}^{3b}=b^{4a^2-3b}\in \mathbb{Z}\Rightarrow b\mid a^2$.

Đặt $a^2=bt(t\in {\mathbb{N}}^{\ast })$

Khi đó $a^{3b}=b^{2a^2}\iff a^{6b}=b^{4a^2}\iff (bt{)}^{3b}=b^{4bt}\iff (bt{)}^3=b^{4t}\iff b^{4t-3}=t^3$

Trước hết ta chứng minh $2^{4t-3}>t^3(\ast )$ bằng quy nạp

Thật vậy, giả sử $(\ast )$ đúng với $t$, xét với $t+1$ thì $2^{4(t+1)-3}=2^{(4t-3)}.16>16t^3=t^3+3t^3+3t^3+9t^3>t^3+3t^2+3t+1=(t+1{)}^3$

Mặt khác $b\ge 2$ nên $b^{4t-3}\ge 2^{4t-3}>t^3$

Trường hợp này phương trình không có nghiệm nguyên

• Trường hợp 2 : Nếu $4a^2<3b$

Ta có $a^{3b}=b^{2a^2}\iff a^{3b-4a^2}={\left(\frac{b}{a^2}\right)}^{2a^2}\in \mathbb{Z}\Rightarrow a^2\mid b$

Đặt $b=k{a}^2(k\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ thì $a^{3b}=b^{2a^2}\iff a^{\frac{3b}{a^2}}=b^2\iff a^{3k}=b^2=k^2{a}^4$

Với $k=1$ thì $b=a^2$, mâu thuẫn với điều kiện $4a^2<3b$, do đó $k\ge 2$

Suy ra $a^{3k-4}=k^2$ mà $a\ge 2\Rightarrow k^2\ge 2^{3k-4}$. Mặt khác ta chứng minh được bằng quy nạp rằng với $k>3$ thì $2^{3k-4}>k^2$, suy ra $k=2$.

Từ đó $a^{3.2-4}=2\Rightarrow a=2\Rightarrow b=8$ (thỏa mãn)

Kết luận : $\boxed{(a,b)=(1,1),(2,8)}$