[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên

Bài toán : Cho số nguyên dương $n\ge 2$. Chứng minh rằng các phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương.

a) $x^n+y^n=z^{n-1}$

b) $x^n+y^n=z^{n+1}$

c) $x^n+y^n+z^n+t^n=w^{n-1}$

Lời giải :

Xét số nguyên dương $k$ tùy ý.

a) Chọn số $x=k(k^n+1{)}^a,y=(k^n+1{)}^a,z=(k^n+1{)}^b$, ta sẽ tìm $a,b$ để phương trình được thỏa mãn.

Thay vào phương trình $k^n(k^n+1{)}^{an}+(k^n+1{)}^{an}=(k^n+1{)}^{b(n-1))}\iff (k^n+1{)}^{an+1}=(k^n+1{)}^{b(n-1)}\Rightarrow an+1=b(n-1)$

Nhận thấy $a,b$ phải phụ thuộc vào $n$, đặt $a=n+x,b=n+y$. Ta được $n(n+x)+1=(n+y)(n-1)\iff n^2+nx+1=n^2+n(y-1)-y\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=y-1\\ -1=y\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=-2\\ y=-1\end{array}$

Kết luận : Phương trình có vô số nghiệm nguyên dương và một họ nghiệm là $\boxed{(x,y,z)=\left(k(k^n+1{)}^{n-2},(k^n+1{)}^{n-2},(k^n+1{)}^{n-1}\right)}$

b) Một họ nghiệm của phương trình là $\boxed{(x,y,z)=\left(k(k^n+1),k^n+1,k^n+1\right)}$

c) Một họ nghiệm của phương trình là $\boxed{(x,y,z,t,w)=\left(k(k^n+3{)}^{n-2},(k^n+3{)}^{n-2},(k^n+3{)}^{n-2},(k^n+3{)}^{n-2},(k^n+3{)}^{n-1}\right)}$