[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên

Bài toán : Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+xy=y^2+xz$

Lời giải :

Viết phương trình dưới dạng một phương trình bậc hai có ẩn $x$ : $x^2+(y-z)x-y^2=0(\ast )$

Xét biệt thức $\Delta =(y-z{)}^2+4y^2$

Để $(\ast )$ có nghiệm nguyên thì điều kiện cần là $\Delta$ là một số chính phương.

Đặt $\Delta =(y-z{)}^2+(2y{)}^2=t^2$ với $t$ là số nguyên dương. Đây chính là phương trình $Pythagoras$, xét số nguyên $k$ và các số nguyên dương $m,n$nguyên tố cùng nhau, khác tính chẵn lẻ và $m>n$.

$■$ Trường hợp 1 : Nếu $y-z>0$ và $2y>0$

Ta có $\{\begin{array}{c}y-z=k(m^2-n^2)\\ 2y=k.2mn\\ t=k(m^2+n^2)\end{array}$

Từ đây ta có $y=kmn,z=k(mn-m^2+n^2)$. Khi đó thì $x=\frac{-(y-z)\pm \sqrt{\Delta }}{2}=\frac{k(n^2-m^2)\pm k(m^2+n^2)}{2}=k{n}^2\vee -k{m}^2$

$■$ Trường hợp 2 : Nếu $y-z<0$ và $2y<0$

Ta có $\{\begin{array}{c}y-z=-k(m^2-n^2)\\ 2y=-k.2mn\\ t=k(m^2+n^2)\end{array}$

Từ đây ta có $y=-kmn,z=k(m^2-n^2-mn)$. Khi đó thì $x=\frac{-(y-z)\pm \sqrt{\Delta }}{2}=\frac{k(m^2-n^2)\pm k(m^2+n^2)}{2}=k{m}^2\vee -k{n}^2$

$■$ Trường hợp 3 : Nếu $y-z>0$ và $2y<0$

Ta có $\{\begin{array}{c}y-z=k(m^2-n^2)\\ 2y=-k2mn\\ t=k(m^2+n^2)\end{array}$

Từ đây ta có $y=-kmn,z=k(n^2-m^2-mn)$. Khi đó ta có $x=\frac{-(y-z)\pm \sqrt{\Delta }}{2}=\frac{k(n^2-m^2)\pm k(m^2+n^2)}{2}=k{n}^2\vee -k{m}^2$

$■$ Trường hợp 4 : Nếu $y-z<0$ và $2y>0$

Ta có $\{\begin{array}{c}y-z=-k(m^2-n^2)\\ 2y=k2mn\\ t=k(m^2+n^2)\end{array}$

Từ đây ta có $y=kmn,z=k(mn+m^2-n^2)$. Khi đó ta có $x=\frac{-(y-z)\pm \sqrt{\Delta }}{2}=\frac{k(m^2-n^2)\pm k(m^2+n^2)}{2}=k{m}^2\vee -k{n}^2$

Kết luận : Tất cả các nghiệm nguyên của phương trình đã cho là

$(x,y,z)=\left(k{m}^2,\pm kmn,k(m^2-n^2\pm mn)\right),\left(-k{n}^2,\pm kmn,k(m^2-n^2\pm mn)\right)$ $,\left(-k{m}^2,\pm kmn,k(n^2-m^2\pm mn)\right),\left(k{n}^2,\pm kmn,k(n^2-m^2\pm mn)\right)$  với $k$ là số nguyên bất kì, $m,n$ là hai số nguyên dương tùy ý sao cho $gcd(m,n)=1$,$m>n$ và $m,n$ khác tính chẵn lẻ