[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên

Bài toán : 

a) Chứng minh rằng phương trình $x^4+y^4+z^4=2t^4$ có vô số nghiệm nguyên.

b) Chứng minh rằng phương trình $x^3+y^3+z^3=t^3$ có vô số nghiệm nguyên.

c) Chứng minh rằng phương trình $x^2+xy+y^2=z^3$ có vô số nghiệm nguyên.

Lời giải :

a) Ta có đẳng thức đại số sau : $\boxed{(p^2-q^2{)}^4+(2pq+q^2{)}^4+(2pq+p^2{)}^4=2(p^2+pq+q^2{)}^4}$

Từ đó ta rút ra được một họ nghiệm cho phương trình đã cho là $\boxed{(x,y,z,t)=\left(k(p^2-q^2),k(2pq+q^2),k(2pq+p^2),k(p^2+pq+q^2)\right)}$ với $p,q,k$ là những số nguyên bất kì.

b) Ta có đẳng thức đại số sau : $\boxed{(6a^2-4ab+4b^2{)}^3=(3a^2+5ab-5b^2{)}^3+(4a^2-4ab+6b^2{)}^3+(5a^2-5ab-3b^2{)}^3}$

Từ đó ta rút ra được một họ nghiệm của phương trình đã cho là $\boxed{(x,y,z,t)=\left(k(3a^2+5ab-5b^2),k(4a^2-4ab+6b^2),k(5a^2-5ab-3b^2),k(6a^2-4ab+4b^2)\right)}$ với $a,b,k$ là những số nguyên bất kì.

c) Ta có đẳng thức đại số sau : $\boxed{(q^3+3p{q}^2-p^3{)}^2-3pq(p+q)(q^3+3p{q}^2-p^3)+9p^2{q}^2(p+q{)}^2=(p^2+pq+q^2{)}^3}$

Từ đó ra rút ra được một họ nghiệm của phương trình đã cho là $\boxed{(x,y,z)=\left(q^3+3p{q}^2-p^3,-3pq(p+q),p^2+pq+q^2\right)}$ với $p,q$ là những số nguyên bất kì.