[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên, Định lí phần dư Trung Hoa

Bài toán : Chứng minh rằng nếu $p_1,p_2,....,p_n$ là các số nguyên tố phân biệt thì phương trình $x_1^{p_1}+x_2^{p_2}+....+x_{n-1}^{p_{n-1}}=x_n^{p_n}$ có vô số nghiệm nguyên dương $(x_1,x_2,....,x_n)$

Lời giải :

Ta có đẳng thức hiển nhiên sau : $\underset{n-1}{\underbrace{(n-1{)}^k+(n-1{)}^k+....+(n-1{)}^k}}=(n-1{)}^{k+1}$

Khi đó ta chọn $x_1=(n-1{)}^{\frac{k}{p_1}},x_2=(n-1{)}^{\frac{k}{p_2}},...,x_{n-1}=(n-1{)}^{\frac{k}{p_{n-1}}},x_n=(n-1{)}^{\frac{k+1}{p_n}}$

Thì ta thu được ngay phương trình $x_1^{p_1}+x_2^{p_2}+....+x_{n-1}^{p_{n-1}}=x_n^{p_n}$

Vậy nếu ta chỉ ra được số nguyên dương $k$ sao cho $x_1,x_2,...,x_n$ đều nguyên thì ta có ngay điều phải chứng minh.

Mà điều này tương đương với hệ sau có nghiệm : $\{\begin{array}{c}k\equiv 0(mod{p}_1)\\ k\equiv 0(mod{p}_2)\\ ....\\ k\equiv 0(mod{p}_{n-1})\\ k\equiv -1(mod{p}_n)\end{array}$

Điều này luôn đúng theo định lí phần dư Trung Hoa vì $p_1,p_2,...,p_n$ là các số nguyên tố phân biệt.