[Bài toán] Phép thế lượng giác

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Chuyên Bến Tre tỉnh Bến Tre) 

Giải phương trình $x^5-15x^3+45x-27=0$

Lời giải :

Do cấu trúc khá giống với công thức lượng giác $cos5a=16co{s}^{5}a-20co{s}^{3}a+5cosa(1)$ về bậc của các biến.

Ta sẽ đặt ẩn phụ thích hợp để đưa các hệ số của phương trình giống với hệ số của công thức $(1)$

Đặt $x=ky$ và thay vào phương trình :  $k^5{y}^5-15k^3{y}^3+45ky-27=0$

Ta sẽ chọn $k$ sao cho $\frac{k^5}{16}=\frac{15k^3}{20}=\frac{45k}{5}\iff k=2\sqrt{3}$

Khi đó phương trình trở thành :

$288\sqrt{3}{y}^5-360\sqrt{3}{y}^3+90\sqrt{3}y-27$$=0$$\iff 18\sqrt{3}\left(16y^5-20y^3+5y\right)$$=27$$\iff 16y^5-20y^3+5y$$=\frac{\sqrt{3}}{2}(\ast )$

Xét $|y|\le 1$ thì đặt $y=costt\in \left[0,\pi \right]$ ta thu được phương trình : $cos5t=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff 5t=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

Mà $t\in \left[0,\pi \right]$ nên $t\in \left\{\frac{\pi }{30},\frac{13\pi }{30},\frac{5\pi }{6},\frac{11\pi }{30},\frac{23\pi }{30}\right\}$.

Từ đó tìm được $5$ nghiệm của $(\ast )$ mà $(\ast )$ bậc năm nên có tối đa năm nghiệm, suy ra $|y|>2$ thì $(\ast )$ vô nghiệm.

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\left\{2cos\frac{\pi }{30}\sqrt{3},2cos\frac{13\pi }{30}\sqrt{3},2cos\frac{5\pi }{6}\sqrt{3},2cos\frac{11\pi }{30}\sqrt{3},2cos\frac{23\pi }{30}\sqrt{3}\right\}$