[Bài toán] Giải HPT bằng bất đẳng thức

Bài toán (VMO 2013) : Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}\sqrt{si{n}^{2}x+\frac{1}{si{n}^{2}x}}+\sqrt{si{n}^{2}y+\frac{1}{si{n}^{2}y}}=\sqrt{\frac{20x}{x+y}}\\ \sqrt{co{s}^{2}x+\frac{1}{co{s}^{2}x}}+\sqrt{co{s}^{2}y+\frac{1}{co{s}^{2}y}}=\sqrt{\frac{20y}{x+y}}\end{array}$

Lời giải :

Điều kiện $x\ne \frac{m\pi }{2},y\ne \frac{n\pi }{2}(m,n\in \mathbb{Z})$, $xy\ge 0,x+y\ne 0$

Đặt $sinx=a,cosx=b,siny=m,cosy=n$ thì ta có $a^2+b^2=1,m^2+n^2=1$. Từ đó dễ dàng suy ra được $(a+b{)}^2\le 2,(m+n{)}^2\le 2$

Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ :

$\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{m^2+\frac{1}{m^2}}+\sqrt{n^2+\frac{1}{n^2}}$$=\frac{\sqrt{20x}+\sqrt{20y}}{\sqrt{x+y}}$

Áp dụng BĐT $Minkowsky$ ta có :

$\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}$$\ge \sqrt{(a+b{)}^2+{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}^2}$$\ge \sqrt{(a+b{)}^2+\frac{16}{(a+b{)}^2}}$$=\sqrt{(a+b{)}^2+\frac{4}{(a+b{)}^2}+\frac{12}{(a+b{)}^2}}$$\ge \sqrt{2\sqrt{(a+b{)}^2.\frac{4}{(a+b{)}^2}}+\frac{12}{(a+b{)}^2}}$$\ge \sqrt{4+\frac{12}{2}}$$=\sqrt{10}$

Tương tự thì $\sqrt{m^2+\frac{1}{m^2}}+\sqrt{n^2+\frac{1}{n^2}}\ge \sqrt{10}$

Từ đó suy ra $VT\ge 2\sqrt{10}$.

Đẳng thức xảy ra nếu $\{\begin{array}{c}sinx=cosx,siny=cosy\\ \left|sinx+cosx\right|=\left|siny+cosy\right|=\sqrt{2}\end{array}\iff x=y=\frac{\pi }{4}-\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$

Mặt khác bằng BĐT $Cauchy-Schwarz$, ta có :

$\frac{\sqrt{20x}+\sqrt{20y}}{\sqrt{x+y}}$$\le \sqrt{2\left(\frac{20x}{x+y}+\frac{20y}{x+y}\right)}$$=2\sqrt{10}$

Tức là $VP\le 2\sqrt{10}$. Đẳng thức xảy ra khi $x=y$

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $\boxed{x=y=\frac{\pi }{4}-\frac{k\pi }{2}}$ với $k$ là số nguyên bất kì.