[Bài toán] Hệ phương trình vô tỉ

Bài toán (CĐT VMO 2009-2010 Tp HCM) Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}{x}^{11}+x{y}^{10}=y^{11}+y(1)\\ 7y^4+13x+8=2y^4\sqrt[3]{x(3x^2+3y^2-1)}(2)\end{array}$

Lời giải :

Xét $y=0$, từ $(1)$ có $x=0$. Nhưng cặp $(0,0)$ không thỏa $(2)$. Ta xét $y\ne 0$.

Viết phương trình $(1)$ thành : ${\left(\frac{x}{y}\right)}^{11}+\frac{x}{y}=y^{11}+y$

Dễ thấy rằng hàm $f(z)=z^{11}+z$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên từ $f\left(\frac{x}{y}\right)=f(y)\iff \frac{x}{y}=y\iff x=y^2$

Thay vào $(2)$ : $7x^2+13x+8=2x^2\sqrt[3]{x(3x^2+3x-1)}$

Đặt $\sqrt[3]{x(3x^2+3x-1)}=t$ ta được hệ $\{\begin{array}{c}7x^2+13x+8=2x^{2}t\\ 3x^3+3x^2-x=t^3\end{array}$

Cộng vế hai phương trình ta thu được :

$$3x^2+10x^2+12x+8=t^3+2x^{2}t\iff (x+2{)}^3+2x^2(x+2)=t^3+2x^{2}t$$

Ta xét hàm số $g(z)=z^3+2x^{2}z$ vì $x^2\ge 0$ nên hàm này đồng biến trên $\mathbb{R}$

Chính vì vậy mà $g(t)=g(x+2)\iff t=x+2\iff 3x^3+3x^2-x=x^3+6x^2+12x+8\iff 2x^3-3x^2-13x-8=0\iff (x+1)(2x^2-5x-8)=0\iff x=-1\vee x=\frac{5\pm \sqrt{89}}{4}$

Từ đó ta kết luận được tập nghiệm của hệ là $S=\left\{\left(\frac{5+\sqrt{89}}{4},\pm \sqrt{\frac{5+\sqrt{89}}{4}}\right)\right\}$