[Bài toán] Hệ phương trình vô tỉ

Bài toán : (CĐT VMO 2010-2011 THPT Chuyên Nguyễn Du, tỉnh Đắc Lắc) Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}2y^3+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}-y\\ y=2x^2-1+2xy\sqrt{1+x}\end{array}$

Lời giải :

Điều kiện $x\in \left[-1,1\right]$

Phương trình đầu của hệ có thể viết thành :

$$2y^3+y=-2x\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x}=2(1-x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}=2\sqrt{(1-x{)}^3}+\sqrt{1-x}$$

Để ý rằng hàm số $f(x)=2x^3+x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên từ $f(y)=f\left(\sqrt{1-x}\right)\iff y=\sqrt{1-x}$

Thay vào phương trình sau của hệ :

$$\sqrt{1-x}=2x^2-1+2x\sqrt{1-x^2}$$

Với điều kiện $x\in \left[-1,1\right]$ thì ta đặt $x=costt\in \left[0,\pi \right]$

Khi đó ta được phương trình

$\sqrt{1-cost}$$=2co{s}^{2}t-1+2cost\sqrt{1-co{s}^{2}t}$$\iff \sqrt{2si{n}^2\frac{t}{2}}$$=cos2t+2costsint$$\iff sin\frac{t}{2}\sqrt{2}$$=cos2t+sin2t$$=cos2t+cos\left(\frac{\pi }{2}-2t\right)$$=2cos\frac{\pi }{4}cos\left(2t-\frac{\pi }{4}\right)$$\iff sin\frac{t}{2}$$=cos\left(2t-\frac{\pi }{4}\right)$$\iff cos\left(\frac{\pi }{2}-\frac{t}{2}\right)$$=cos\left(2t-\frac{\pi }{4}\right)$$\iff \frac{\pi }{2}-\frac{t}{2}$$=\pm \left(2t-\frac{\pi }{4}\right)+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

$$\iff t=-\frac{\pi }{6}+\frac{4k\pi }{3}\vee t=\frac{3\pi }{10}+\frac{4k\pi }{5}$$

Chú ý rằng $t\in \left[0,\pi \right]$ nên ta tìm được $t=\frac{3\pi }{10}$

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $(x,y)=\left(cos\frac{3\pi }{10},sin\frac{3\pi }{20}\sqrt{2}\right)$