Bài toán (CĐT VMO 2013-2014 THPT Chuyên Bắc Ninh tỉnh Bắc Ninh) : Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (2x-1)\sqrt{x+y}=(6-x-y)\sqrt{2-x}\\ 2\sqrt[3]{12x^2+3xy-18x}=x^3-6x-y+5 \end{matrix}\right.$ Lời giải : Điều kiện $x\leq 2,x+y\geq 0$ Đặt $\sqrt{2-x}=a\geq 0,\sqrt{x+y}=2b\geq 0$, khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành : \[\left [ 3-2(2-x) \right ]\sqrt{x+y}=\left ( 6-x-y \right )\sqrt{2-x}\Leftrightarrow (3-2a^2)2b=(6-4b^2)a\Leftrightarrow (3-2a^2)b=(3-2b^2)a\] Nếu $a=0$ thì $x=2$, từ phương trình đầu suy ra $y=-2$. Cặp $(2,-2)$ không thỏa phương trình sau. Nếu $b=0$ thì từ phương trình đầu suy ra $x=2$, suy ra $y=-2$. Nhưng cặp $(2,-2)$ không thỏa phương trình sau. Ta xét $a,b>0$. Khi đó ta có $\dfrac{3-2a^2}{a}=\dfrac{3-2b^2}{b}$. Xét hàm $f(x)=\dfrac{3-2x^2}{x}$ trên miền $x>0$, rõ ràng hàm này nghịch biến trên miền $x>0$. Như vậy ta có $f(a)=f(b)\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow \sqrt{2-x}=\dfrac{\sqrt{x+y}}{2}\Leftrightarrow y=-5x+8$ Thay vào phương trình thứ hai : \[2\sqrt[3]{12x^2+3x(-5x+8)-18x}=x^3-6x-(-5x+8)+5\Leftrightarrow x^3-x-3=2\sqrt[3]{6x-3x^2}\] Đặt $\sqrt[3]{6x-3x^2}=t$ ta được hệ $\left\{\begin{matrix} x^3-x-3=2t & & \\ -3x^2+6x=t^3& & \end{matrix}\right.$ Cộng vế hai phương trình này lại : $x^3-3x^2+5x-6=t^3+2t\Leftrightarrow (x-1)^3+2(x-1)=t^3+2t$ Lại xét hàm $g(x)=x^3+2x$ thì hàm này đồng biến trên $\mathbb{R}$, từ đó $f(x-1)=f(t)\Leftrightarrow x-1=t=\sqrt[3]{6x-3x^2}\Leftrightarrow x^3-3x^2+3x-1=6x-3x^2\Leftrightarrow x^3-3x-1=0\qquad(*)$ Xét $\left | x \right |\leq 2$, đặt $x=2cosz,\;\;z\in \left [ 0,\pi \right ]$ Khi đó ta được phương trình $8cos^3z-6cosz-1=0\Leftrightarrow cos3z=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow x\in \left \{ 2cos\dfrac{\pi }{9},2cos\dfrac{5\pi }{9},2cos\dfrac{7\pi }{9} \right \}$ Vì $(*)$ bậc ba nên có tối đa ba nghiệm, ba nghiệm trên chính là tất cả các nghiệm của $(*)$ nên trường hợp $|x|>2$ thì $(*)$ vô nghiệm. Kết luận : Tập nghiệm của hệ phương trình là $(x,y)=(2cos\alpha ,-10cos\alpha +8)$ với $\alpha \in \left \{ cos\dfrac{\pi }{9},cos\dfrac{5\pi }{9},cos\dfrac{7\pi }{9} \right \}$

[Bài toán] Hệ phương trình

Bài toán (CĐT VMO 2013-2014 THPT Chuyên Bắc Ninh tỉnh Bắc Ninh) :

Giải hệ phương trình ${(2 x - 1) x + y = (6 - x - y) 2 - x 2 3 12 x^{2} + 3 x y - 18 x = x^{3} - 6 x - y + 5$

Lời giải :

Điều kiện $x \leq 2, x + y \geq 0$

Đặt $2 - x = a \geq 0, x + y = 2 b \geq 0$ , khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành :

$[3 - 2 (2 - x)] x + y = (6 - x - y) 2 - x \Leftrightarrow (3 - 2 a^{2}) 2 b = (6 - 4 b^{2}) a \Leftrightarrow (3 - 2 a^{2}) b = (3 - 2 b^{2}) a$

Nếu $a = 0$ thì $x = 2$ , từ phương trình đầu suy ra $y = - 2$ . Cặp $(2, - 2)$ không thỏa phương trình sau.

Nếu $b = 0$ thì từ phương trình đầu suy ra $x = 2$ , suy ra $y = - 2$ . Nhưng cặp $(2, - 2)$ không thỏa phương trình sau.

Ta xét $a, b > 0$ . Khi đó ta có $\frac{3 - 2 a ^{2}}{a} = \frac{3 - 2 b ^{2}}{b}$ .

Xét hàm $f (x) = \frac{3 - 2 x ^{2}}{x}$ trên miền $x > 0$ , rõ ràng hàm này nghịch biến trên miền $x > 0$ . Như vậy ta có $f (a) = f (b) \Leftrightarrow a = b \Leftrightarrow 2 - x = \frac{x + y}{2} \Leftrightarrow y = - 5 x + 8$

Thay vào phương trình thứ hai :

$2 3 12 x^{2} + 3 x (- 5 x + 8) - 18 x = x^{3} - 6 x - (- 5 x + 8) + 5 \Leftrightarrow x^{3} - x - 3 = 2 3 6 x - 3 x^{2}$

Đặt $3 6 x - 3 x^{2} = t$ ta được hệ ${x^{3} - x - 3 = 2 t - 3 x^{2} + 6 x = t^{3}$

Cộng vế hai phương trình này lại : $x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 6 = t^{3} + 2 t \Leftrightarrow (x - 1)^{3} + 2 (x - 1) = t^{3} + 2 t$

Lại xét hàm $g (x) = x^{3} + 2 x$ thì hàm này đồng biến trên $R$ , từ đó $f (x - 1) = f (t) \Leftrightarrow x - 1 = t = 3 6 x - 3 x^{2} \Leftrightarrow x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 = 6 x - 3 x^{2} \Leftrightarrow x^{3} - 3 x - 1 = 0 (*)$

Xét $∣ x ∣ \leq 2$ , đặt $x = 2 cosz, z \in [0, π]$

Khi đó ta được phương trình $8 co s^{3} z - 6 cosz - 1 = 0 \Leftrightarrow cos 3 z = \frac{1}{8} \Leftrightarrow x \in {2 cos \frac{π}{9}, 2 cos \frac{5 π}{9}, 2 cos \frac{7 π}{9}}$

Vì $(*)$ bậc ba nên có tối đa ba nghiệm, ba nghiệm trên chính là tất cả các nghiệm của $(*)$ nên trường hợp $∣ x ∣ > 2$ thì $(*)$ vô nghiệm.

Kết luận : Tập nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (2 cos α, - 10 cos α + 8)$ với $α \in {cos \frac{π}{9}, cos \frac{5 π}{9}, cos \frac{7 π}{9}}$

[Bài toán] Hệ phương trình

Đề bài

Mô tả