[Bài toán] Bổ đề về số nguyên tố dạng 4k+3

Bài toán (CĐT VMO trường PTNK ĐHQG Tp HCM 2013-2014) 

Cho dãy $\left\{u_n\right\}$ thỏa mãn $\{\begin{array}{c}{u}_1=2013\\ u_{n+1}=u_n^3-4u_n^2+5u_n\end{array}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tìm số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p\equiv 3(mod4)$ và $p\mid u_{2014}+2009$

Lời giải :

Bổ đề quen thuộc : Với các số nguyên dương $x,y$ nguyên tố cùng nhau thì $x^2+y^2$ không có ước nguyên tố nào dạng $4k+3$

Bài toán :

Ta có $u_{n+1}=u_n^3-4u_n^2+5u_n-2=(u_n-1{)}^2(u_n-2)$

Do đó

$u_{2014}-2$$=(u_{2013}-1{)}^2(u_{2013}-2)$$=(u_{2013}-1{)}^2(u_{2012}-1{)}^2(u_{2012}-2)$$=(u_{2013}-1{)}^2(u_{2012}-1{)}^2...(u_1-1{)}^2(u_1-2)$$=2011(u_1-1{)}^2(u_2-1{)}^2...(u_{2012}-1{)}^2(u_{2013}-1{)}^2$

Từ đó suy ra

$$u_{2014}+2009=2011[(u_1-1{)}^2(u_2-1{)}^2...(u_{2012}-1{)}^2(u_{2013}-1{)}^2+1]$$

Theo giả thiết ta có $p\equiv 3(mod4)$ và $p\mid u_{2014}+2009$ mà theo bổ đề thì $(u_1-1{)}^2(u_2-1{)}^2...(u_{2012}-1{)}^2(u_{2013}-1{)}^2+1$ không có ước nguyên tố nào dạng $4k+3$.

Suy ra $p\mid 2011\Rightarrow p=2011$.

Kết luận : Có duy nhất số nguyên tố $p$ thỏa mãn bài ra là $\boxed{p=2011}$

*Nhận xét : Các bài toán tương tự :

1) Cho dãy $\left\{u_n\right\}$ xác định bởi $\{\begin{array}{c}{u}_1=5\\ u_{n+1}=u_n^3-2u_n+2\end{array}$. Tìm số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p\equiv 3(mod4)$ và $p\mid u_{2011}+1$

2) (THTT số 437) Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=34$ và $a_{n+1}=4a_n^3-104a_n^2-107a_n$ với mọi số nguyên dương $n$. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p\equiv 3(mod4)$ và $a_{2013}+1$ chia hết cho $p$