Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, tỉnh Kiên Giang) : Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Đường thẳng $AC$ có phương trình $3x-y-5=0$. Gọi $H$ là trung điểm của $BC$. $D$ là hình chiếu của $H$ trên cạnh $AC$, $M$ là trung điểm của $HD$. Đường thẳng $BD$ qua $E(8,-5)$. $AM$ có phương trình $11x-7y-5=0$. Viết phương trình cạnh $AB,BC$. Lời giải : Ta có $2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\left ( \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AD} \right )\left ( \overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HD} \right )=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\left ( \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HD} \right )\overrightarrow{HC}=\left ( \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC} \right )\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HD}=0$ Như vậy thì $AM \perp BD$. Đường thẳng $BD$ qua $E(8,-5)$ và vuông góc với $(AM):11x-7y-5=0$ nên nhận $\overrightarrow{n}\left ( 7,11 \right )$ làm một vector pháp tuyến. Suy ra $(BD):7x+11y-1=0$ Vì $\left \{ D \right \}=AC\cap BD$ nên tọa độ điểm $D$ chính là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} 3x-y-5=0\\ 7x+11y-1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow D\left ( \dfrac{7}{5} ,\dfrac{-4}{5}\right )$ Vì $\left \{ A \right \}=AM\cap AC$ nên tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} 11x-7y-5=0\\ 3x-y-5=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow A(3,4)$ Ta có $(HD)$ qua $D(\dfrac{7}{5},\dfrac{-4}{5})$ và vuông góc với $(AC):3x-y-5=0$ nên nhận vector $(1,3)$ làm vector pháp tuyến : $(HD):x+3y+1=0$ Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} 11x-7y-5=0\\ x+3y+1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow M\left ( \dfrac{1}{5},\dfrac{-2}{5} \right )$ Vì $M$ là trung điểm của $HD$ nên dễ tìm được $H\left ( -1,0 \right )$ Đường thẳng $(BC)$ qua $H(-1,0)$ và nhận $\overrightarrow{AH}\left ( -4,-4 \right )$ là một vector pháp tuyến nên $(BC):x+y+1=0$ Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} x+y+1=0\\ 7x+11y-1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow B\left ( -3,2 \right )$ Do đó $(AB):x-3y+9=0$ Kết luận : Phương trình đường thẳng $AB,BC$ lần lượt là $x-3y+9=0,x+y+1=0$.

[Bài toán] Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, tỉnh Kiên Giang) : Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ . Đường thẳng $A C$ có phương trình $3 x - y - 5 = 0$ . Gọi $H$ là trung điểm của $B C$ . $D$ là hình chiếu của $H$ trên cạnh $A C$ , $M$ là trung điểm của $H D$ . Đường thẳng $B D$ qua $E (8, - 5)$ . $A M$ có phương trình $11 x - 7 y - 5 = 0$ . Viết phương trình cạnh $A B, B C$ .

Lời giải :

Ta có $2 A M . B D = (A H + A D) (B H + H D) = A H . H D + A D . B H = A H . H D + (A H + H D) H C = (A H + H C) H D + A H . H C = A C . H D = 0$

Như vậy thì $A M ⊥ B D$ .

Đường thẳng $B D$ qua $E (8, - 5)$ và vuông góc với $(A M) : 11 x - 7 y - 5 = 0$ nên nhận $n (7, 11)$ làm một vector pháp tuyến. Suy ra $(B D) : 7 x + 11 y - 1 = 0$

Vì ${D} = A C \cap B D$ nên tọa độ điểm $D$ chính là nghiệm của hệ ${3 x - y - 5 = 0 7 x + 11 y - 1 = 0 \Rightarrow D (\frac{7}{5}, \frac{- 4}{5})$

Vì ${A} = A M \cap A C$ nên tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ ${11 x - 7 y - 5 = 0 3 x - y - 5 = 0 \Rightarrow A (3, 4)$

Ta có $(H D)$ qua $D (\frac{7}{5}, \frac{- 4}{5})$ và vuông góc với $(A C) : 3 x - y - 5 = 0$ nên nhận vector $(1, 3)$ làm vector pháp tuyến : $(H D) : x + 3 y + 1 = 0$

Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ ${11 x - 7 y - 5 = 0 x + 3 y + 1 = 0 \Rightarrow M (\frac{1}{5}, \frac{- 2}{5})$

Vì $M$ là trung điểm của $H D$ nên dễ tìm được $H (- 1, 0)$

Đường thẳng $(B C)$ qua $H (- 1, 0)$ và nhận $A H (- 4, - 4)$ là một vector pháp tuyến nên $(B C) : x + y + 1 = 0$

Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ ${x + y + 1 = 0 7 x + 11 y - 1 = 0 \Rightarrow B (- 3, 2)$

Do đó $(A B) : x - 3 y + 9 = 0$

Kết luận : Phương trình đường thẳng $A B, B C$ lần lượt là $x - 3 y + 9 = 0, x + y + 1 = 0$ .

[Bài toán] Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Đề bài

Mô tả