[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên

Bài toán : Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^4-2y^2=1$.

Lời giải :

Dễ thấy phương trình có các nghiệm tầm thường $(1,0),(-1,0)$

Đặt $x^2=t$ ta được phương trình $t^2-2y^2=1$. Đây chính là phương trình $Pell$, nghiệm nhỏ nhất của nó là $(3,2)$ nên mọi nghiệm nguyên dương $(t_k,y_k)$ của nó được xác định bởi công thức $(3+2\sqrt{2}{)}^k=t_k+y_k\sqrt{2}$.

Nhưng để thỏa mãn phương trình ban đầu có nghiệm nguyên thì $t_k$ phải chính phương với mọi $k$ nguyên dương.

Xét khai triển

$${\left(3+2\sqrt{2}\right)}^n=3^n+C_n^1{3}^{n-1}.2\sqrt{2}+...+(2\sqrt{2}{)}^n$$

Khi đó hiển nhiên

   $$t_n=3^n+C_n^2{3}^{n-2}(2\sqrt{2}{)}^2+...+(2\sqrt{2}{)}^n\equiv 3^n(mod4)$$

Mà vì $t_n$ chính phương nên $t_n\equiv 0,1(mod4)\Rightarrow 3^n\equiv 0,1(mod4)$. Vậy phải có $n$ chẵn.

Vì vậy ta xét khai triển $(3+2\sqrt{2}{)}^{2k}=t_k+y_k\sqrt{2}$. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng $t_k\equiv 7(mod10)$ và $y_k^2\equiv 4(mod10)$ $(\ast )$

Thật vậy, giả sử điều này đúng đến $k$, xét với $k+1$ :

$$t_{k+1}+y_{k+1}\sqrt{2}=(t_k+y_k\sqrt{2}{)}^2=t_k^2+2y_k^2+2t_k{y}_k\sqrt{2}\Rightarrow \{\begin{array}{ccc}{t}_{k+1}=t_k^2+2y_k^2& & \\ y_{k+1}=2t_k{y}_k& & \end{array}$$

Từ đó ta suy ra rằng

$$t_{k+1}=t_k^2+2y_k^2\equiv 7^2+2.4\equiv 7(mod10)$$ và

$$y_{k+1}^2=(2t_k{y}_k{)}^2=4.t_k^2.y_k^2\equiv 4.7^2.4\equiv 4(mod10)$$

Theo nguyên lí quy nạp thì mệnh đề $(\ast )$ là đúng. Tức là ta luôn có $t_k\equiv 7(mod10)$ với mọi $k$ nguyên dương, nên $t_k$ không thể là số chính phương, dẫn đến phương trình ban đầu không thế có nghiệm nguyên.

Kết luận : $\boxed{(x,y)=(1,0),(-1,0)}$