[Bài toán] Tứ giác điều hòa, hàng điểm điều hòa

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(O)$. Các tiếp điểm với $(O)$ trên $BC,CA,AB$ lần lượt là $D,E,F$. Gọi $S$ là giao điểm của $EF$ với $BC$. Gọi $I,J$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $SO$ với $(O)$. Chứng minh rằng $BI,CJ,AD$ đồng quy.

Lời giải :

Gọi $X$ là giao điểm của $AD$ với $(O)$ và $Y$ là giao điểm của $SO$ với $AD$.

Dễ dàng thấy rằng $XFDE$ là một tứ giác điều hòa, từ đó dễ dàng thấy ngay $SX$ là tiếp tuyến tại $X$ của $(O)$.

Ta thấy $SX,SD$ tiếp xúc với $(O)$ tại $X,D$ nên $(SYIJ)=-1$ (hàng điều hòa về đường tròn)

Mặt khác thì $AD,BE,CF$ đồng quy tại điểm $Gergonne$ của tam giác $ABC$ từ đó có $(SDBC)=-1$ (hàng điều hòa tứ giác toàn phần)

Suy ra $(SYIJ)=(SDBC)$. Vậy nên $YD,BI,CJ$ đồng quy hay $AD,BI,CJ$ đồng quy.