Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2010 THPT Chuyên Lê Hồng Phong TpHCM) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \left ( x+\sqrt{1+x^2} \right )\left ( y+\sqrt{1+y^2} \right )=1\\ x\sqrt{3x-2xy+1}=4xy+3x+1 \end{matrix}\right.$ Lời giải : Phương trình thứ nhất có thể viết thành : $x+\sqrt{1+x^2}=\frac{1}{y+\sqrt{1+y^2}}=-y+\sqrt{1+(-y)^2}$ Xét hàm số $f(t)=t+\sqrt{1+t^2}$ Ta chứng minh hàm này đồng biến trên $\mathbb{R}$. Thật vậy, lấy $t_1,t_2\in \mathbb{R}:t_1<t_2$. Khi đó $\dfrac{f(t_1)-f(t_2)}{t_1-t_2}=\dfrac{(t_1-t_2)+\sqrt{1+t_1^2}-\sqrt{1+t_2^2}}{t_1-t_2}=1+\dfrac{\sqrt{1+t_1^2}-\sqrt{1+t_2^2}}{t_1-t_2}=1+\dfrac{(t_1^2-t_2^2)}{(t_1-t_2)\left ( \sqrt{1+t_1^2}+\sqrt{1+t_2^2} \right )}=1+\dfrac{t_1+t_2}{\sqrt{1+t_1^2}+\sqrt{1+t_2^2}}=\dfrac{\sqrt{1+t_1^2}+\sqrt{1+t_2^2}+t_1+t_2}{\sqrt{1+t_1^2}+\sqrt{1+t_2^2}}>0$ Như vậy hàm $f(t)=t+\sqrt{1+t^2}$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$. Chính vì vậy $f(x)=f(-y)\Leftrightarrow x=-y$. Thay vào phương trình sau : $x\sqrt{3x+2x^2+1}=-4x^2+3x+1\Rightarrow x^2(3x+2x^2+1)=(-4x^2+3x+1)^2\Leftrightarrow 14x^4-27x^3-9x^2+6x+1=0\Leftrightarrow (2x^2-3x-1)(7x^2-3x-1)=0\Leftrightarrow x\in \left \{ \dfrac{3\pm \sqrt{37}}{14},\dfrac{3\pm \sqrt{7}}{4} \right \}$ Thử lại, ta kết luận nghiệm của hệ phương trình là $S=\left \{ \left ( \dfrac{3+\sqrt{37}}{14},\dfrac{-3-\sqrt{37}}{14} \right ) \right \}$

[Bài toán] Hệ phương trình

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2010 THPT Chuyên Lê Hồng Phong TpHCM)

Giải hệ phương trình ${(x + 1 + x^{2}) (y + 1 + y^{2}) = 1 x 3 x - 2 x y + 1 = 4 x y + 3 x + 1$

Lời giải :

Phương trình thứ nhất có thể viết thành : $x + 1 + x^{2} = \frac{1}{y + 1 + y ^{2}} = - y + 1 + (- y)^{2}$

Xét hàm số $f (t) = t + 1 + t^{2}$

Ta chứng minh hàm này đồng biến trên $R$ . Thật vậy, lấy $t_{1}, t_{2} \in R : t_{1} < t_{2}$ .

Khi đó $\frac{f ( t _{1} ) - f ( t _{2} )}{t _{1} - t _{2}} = \frac{( t _{1} - t _{2} ) + 1 + t _{1}^{2} - 1 + t _{2}^{2}}{t _{1} - t _{2}} = 1 + \frac{1 + t _{1}^{2} - 1 + t _{2}^{2}}{t _{1} - t _{2}} = 1 + \frac{( t _{1}^{2} - t _{2}^{2} )}{( t _{1} - t _{2} ) ( 1 + t _{1}^{2} + 1 + t _{2}^{2} )} = 1 + \frac{t _{1} + t _{2}}{1 + t _{1}^{2} + 1 + t _{2}^{2}} = \frac{1 + t _{1}^{2} + 1 + t _{2}^{2} + t _{1} + t _{2}}{1 + t _{1}^{2} + 1 + t _{2}^{2}} > 0$

Như vậy hàm $f (t) = t + 1 + t^{2}$ là hàm đồng biến trên $R$ .

Chính vì vậy $f (x) = f (- y) \Leftrightarrow x = - y$ .

Thay vào phương trình sau : $x 3 x + 2 x^{2} + 1 = - 4 x^{2} + 3 x + 1 \Rightarrow x^{2} (3 x + 2 x^{2} + 1) = (- 4 x^{2} + 3 x + 1)^{2} \Leftrightarrow 14 x^{4} - 27 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 1 = 0 \Leftrightarrow (2 x^{2} - 3 x - 1) (7 x^{2} - 3 x - 1) = 0 \Leftrightarrow x \in {\frac{3 \pm 37}{14}, \frac{3 \pm 7}{4}}$

Thử lại, ta kết luận nghiệm của hệ phương trình là $S = {(\frac{3 + 37}{14}, \frac{- 3 - 37}{14})}$

[Bài toán] Hệ phương trình

Đề bài

Mô tả