[Bài toán] Hàng điểm điều hòa

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ và điểm $O$ nằm trong tam giác. Các tia $BO,CO$ lần lượt cắt $AC,AB$ tại $E,F$. Gọi $I$ là giao điểm của $AO,EF$. Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $BC$. Chứng minh rằng $\widehat{AHE}=\widehat{OHF}$

Lời giải :

Gọi $J$ là giao điểm của tia $AO$ với $BC$. $S$ là giao điểm của $EF$ với $BC$

Ta có $\left(BCJS\right)=-1$ (hàng điều hòa tứ giác toàn phần)

$\Rightarrow H\left(EFIS\right)=-1$ mà $HI\perp HS$ nên theo định lí về chùm điều hòa ta có $HI$ là phân giác của góc $EHF$

Tức là $\widehat{EHI}=\widehat{FHI}$

Cũng vì $\left(BCJS\right)=-1$ ta có $\left(FB,FC,FJ,FS\right)=-1\Rightarrow \left(FO,FA,FJ,FI\right)=-1\Rightarrow H(OAJI)=-1$ mà $HI\perp HS$ nên theo định lí về chùm điều hòa ta có $HI$ là phân giác của góc $AHO$.

Tức là $\widehat{AHI}=\widehat{OHI}$

Do đó $\widehat{AHE}=\widehat{EHI}-\widehat{AHI}=\widehat{FHI}-\widehat{OHI}=\widehat{OHF}$

Đây là điều phải chứng minh