[Bài toán] Hệ phương trình

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lê Hồng Phong TpHCM) :

Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}{x}^2+2+(y^2-y-1)\sqrt{x^2+2}-y^3+y=0(1)\\ 2x+xy+2+(x+2)\sqrt{y^2+4x+4}=0(2)\end{array}$

Lời giải :

Đặt $t=\sqrt{x^2+2}>1$

Khi đó $\left(1\right)\iff t^2+(y^2-y-1)t-y^3+y=0$

Coi đây là một phương trình bậc hai ẩn $t$, khi đó biệt thức $\Delta =(y^2-y-1{)}^2-4(y-y^3)=y^4+2y^3-y^2-2y+1=(y^4+2y^3+y^2)-2(y^2+y)+1=(y^2+y-1{)}^2$

Như vậy, ta có $t=\frac{-(y^2-y-1)+(y^2+y-1)}{2}=y\vee t=\frac{-(y^2-y-1)-(y^2+y-1)}{2}=1-y^2$

Rõ ràng $t=1-y^2$ là vô lí vì $t>1$, do vậy phải có $t=y\iff y=\sqrt{x^2+2}$

Khi đó thay vào $(2)$ :

$2x+x\sqrt{x^2+2}+2+(x+2)\sqrt{(x^2+2)+4x+4}$$=0$$\iff (x+2)+(x+2)\sqrt{(x+2{)}^2+2}$$=(-x)+(-x)\sqrt{(-x{)}^2+2}$

Xét hàm số $f(t)=t+t\sqrt{t^2+2}$

Khi đó $\forall t_1,t_2\in \mathbb{R}:t_1<t_2$.

Ta có $\frac{f(t_1)-f(t_2)}{t_1-t_2}=\frac{(t_1-t_2)+(t_1\sqrt{t_1^2+2}-t_2\sqrt{t_2^2+2})}{t_1-t_2}=1+\frac{t_1\sqrt{t_1^2+2}-t_2\sqrt{t_2^2+2}}{t_1-t_2}$

Nếu $0<t_1<t_2$ thì hiển nhiên $\frac{f(t_1)-f(t_2)}{t_1-t_2}>0$

Nếu $\sqrt{t_1^2(t_1^2+2)}>\sqrt{t_2^2(t_2^2+2)}\Rightarrow \left|t_1\right|\sqrt{t_1^2+2}>\left|t_2\right|\sqrt{t_2^2+2}\Rightarrow -t_1\sqrt{t_1^2+2}>-t_2\sqrt{t_2^2+2}\Rightarrow t_1\sqrt{t_1^2+2}<t_2\sqrt{t_2^2+2}\Rightarrow \frac{f(t_1)-f(t_2)}{t_1-t_2}>0$

Nếu $t_1<0<t_2$ thì hiển nhiên $t_1\sqrt{t_1^2+2}<t_2\sqrt{t_2^2+2}$, suy ra $\frac{f(t_1)-f(t_2)}{t_1-t_2}>0$

Như vậy hàm $f(t)=t+t\sqrt{t^2+2}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Khi đó vì $f\left(x+2\right)=f(-x)\iff x+2=-x\iff x=-1$

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $\left(x,y\right)=(-1,\sqrt{3})$