[Bài toán] Phương trình hàm

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f\left(f\left(x+y\right)f(x-y)\right)$$=x^2-yf\left(y\right),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$

Lời giải :

Trong $(1)$ cho $x=y=0$ ta thu được $f\left(f^2(0)\right)=0$

Trong $(1)$ cho $x=0,y=f^2(0)$, ta được :

$f\left(f(f^2(0)).f(-f^2(0))\right)=-f^2(0).f(f^2(0))\iff f(0)=0$ (vì $f\left(f^2(0)\right)=0$)

Trong $(1)$ cho $x=y$ thì được : $f\left(f(2x).f(0)\right)=x^2-xf(x)\iff x^2=xf(x)\iff f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$

Mà với $x=0$ ta có $f(0)=0$.

Kết luận : Hàm số cần tìm là $\boxed{f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}}$